江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下列求导正确的（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D.
【详解】，A不正确；
，B不正确；
，C不正确；
，D正确.
故选：D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选：A
3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正确答案】A
【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果.
【详解】易知平均变化率为，
可得，瞬时变化率为，
因此，解得.
故选：A
4. 已知函数，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得.
【详解】因为，
所以，
令，得，
∴，
所以，故
故选：D.
5. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ）
A. 12种B. 14种C. 16种D. 18种
【正确答案】B
分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解.
【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有,
若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有,
若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有,
故总的方法有，
故选：B
6. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.
【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a取值范围是.
故选：C
7. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【正确答案】D
【分析】利用插空法和分步计数原理求解.
【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，
再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，
所以共有种排法.
故选：D
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围；
【详解】令，即得，即方程有三个零点，
即直线与曲线有三个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为,
故选：A
二、多选题
9. 已知函数，则（ ）
A. 是极小值点
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 当时，
【正确答案】BD
【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D．
【详解】函数，，令，解得或，
故当时，当时，，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极大值点，是的极小值点，故A错误，C错误；
对B．，
则的图象关于点对称，故B正确；
对D．当时，，而在上单调递增，
故，故D正确．
故选：BD
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值；B. 有两个不同的零点；
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】利用导数求解极大值，判断选项A，根据函数单调性判断零点个数，判断选项B，根据单调性直接判断选项C，化简不等式，结合函数单调性判断选项D.
【详解】由题知，定义域，
所以，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，且为，A正确；
因为，，
且当时，，且恒大于0，
所以可得草图如下，则B错误；
由上述可知，，
又，，
所以，C正确；
假设，则，
所以，
因为在上单调递减，则，
则，则，
则，D正确
故选：ACD
11. 拐点（Inflectin Pint）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数对于区间内任一点都可导，且函数对于区间内任一点都可导，若，使得，且在的两侧的符号相反，则称点为曲线的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（ ）
A. B. ，
C. （，且）D.
【正确答案】AC
【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D需要找到两个拐点即可排除D.
【详解】对于A：，，令得，
当时，，当时，，所以是函数的拐点，故A正确；
对于B：，，，令，方程无解，所以无拐点，故B错误；
对于C：，，令得，
当且时，，当且当时，，
当且时，，当且时，，
，所以是函数唯一拐点，故C正确；
对于D：，，因为，所以在至少有一个零点且为变号零点，
又因为，所以在至少有一个零点且为变号零点所以有拐点但不唯一，故D错误.
故选：AC
三、填空题
12. 已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为________.
【正确答案】和
【分析】设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的斜率列出切线方程，根据切线过点，求出切点坐标，从而可求出切线方程．
【详解】，设过点的切线与曲线相切于点，
曲线在点处切线斜率为，
可得切线的方程为，代入点，
可得，
解得，或，
故切点分别为和，
过点的切线方程为或，
所以过点的切线方程有两条：和．
故答案为和
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点，属于中档题．
13. 已知函数，，则的最小值为________________.
【正确答案】
【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可.
【详解】因为，令，可得，而，，
所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，
所以时函数最小为值，
所以函数在的最小值分别为.
故答案为.
14. 、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为______．
【正确答案】
【分析】根据题意，得到可以住号房间，分类讨论，结合排列数的公式，即可求解.
【详解】由题意，不住2号房间，且两人不住编号相邻房间，则可以住号房间，
若住在1号房间，则可以住在三个房间，有三种情况，剩下三人安排在其他三个房间，
此时，有种情况；
若住在3号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间，
此时，有种情况；
若住在4号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间，
此时，有种情况；
若住在5号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间，
此时，有种情况，
由分类计数原理得，共有种不同的住法.
故答案为.
四、解答题
15. 现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．
（1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？
【正确答案】（1）96； （2）60.
【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
【小问1详解】
先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
【小问2详解】
当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数；
16. 已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可；
（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域.
【小问1详解】
由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
【小问2详解】
由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
17. 函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）.
【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；
（2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题意得，，
当时，则，在上单增，
的递增区间为；
当时，令，则；令，则.
的递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
当时，令，，
则，，
由题意，得.
因为，
令，则；令，则，
在上递减，在上递增，
，
故
在上递增，
又，
，
实数的取值范围为.
18. 已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品．
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
【正确答案】（1）720 （2）26
【分析】（1）分步骤确定每次测试的情况数，再根据排列组合的乘法原理计算总的测试情况数.
（2）要分测试次找到所有次品和测试次找到所有次品这两种情况分别计算，最后根据加法原理得到总的测试情况数.
【小问1详解】
第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择.
第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择.
第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择.
第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择.
根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种.
【小问2详解】
测试次就找到所有次品的情况:
第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况.
测试次找到所有次品的情况:
第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.
第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.
根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种.
19. 已知函数
（1）若，求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求证：恰有个极值点；
（3）若，不等式恒成立，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）e
【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；
（2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；
（3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【小问1详解】
由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，
则 的关系，如图下表：
综上可得，函数 ．
【小问2详解】
由函数 ，
可得 ，
因为 ，
所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有
综上可得，函数 恰有个极值点．
【小问3详解】
因为 ，所以 ，不等式 恒成立，
设 ，可得 ，
所以 的关系，如图下表：
， ， ，
所以 ，所以实数 的最小值为．
方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．－4
－1
3
4
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值－5
单调递增
2


极大值

极小值
极大值
2
极大值