江苏省苏州市工业园区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市工业园区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】对函数求导，将与代入即可求得答案.
【详解】函数求导得，
将代入得，将代入得，
则，
故选：B
2. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 1C. D. e
【正确答案】B
【分析】先求导函数，再根据导函数值结合对数运算计算求解.
【详解】，
由，得，则，解得．
故选：B.
3. 2024年11月份，文化和旅游部、交通运输部等六部门共同遴选出第二批68个交通运输与旅游融合发展示范案例，并正式公布．四川3个案例——“川九”旅游公路、夜游锦江（活水公园一东湖公园段）、“熊猫”旅游列车入选．甲、乙等四人准备各自从上述3个案例的路线中选一条，寒假各自按自己选择的路线去旅游，且甲、乙结伴而行（甲、乙选择的路线相同），则不同的选择方案有（ ）
A 6种B. 9种C. 12种D. 27种
【正确答案】D
【分析】根据题意甲、乙结伴而行，可将甲，乙看作一个整体，与剩下2人进行选择线路，利用分步乘法计数原理可解.
【详解】根据题意，甲、乙结伴而行，可将甲，乙看作一个整体，
与剩下2人从3个案例的路线中选一条，共有种．
故选：D
4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项.
【详解】因为函数在处取得极小值，
在左侧附近，，此时，，
在右侧附近，即存在，使得当，使得，
此时，，C选项合乎题意.
故选：C.
5. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【正确答案】A
【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可.
【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
6. 已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先将问题转化为有三个不等的实数根，分两种情况讨论：当时，，令，结合单调性讨论根的情况；当时，，当时，方程无实根；当时，令，利用导数研究函数的性质，作出函数的图像，数形结合得到结果.
【详解】若 有三个不等零点，等价于有三个不等的实数根，
当时，，
由得，
即，
令，由复合函数的单调性可得，
当时，单调递增，故，
故当时，方程无实根；
当时，方程在上有一个实根；
当时，，由得，
当时，显然方程无实根；
当时，，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即当时，取得极大值，，
，当时，；当时，，
作出图像如下：

要使有三个不等的实数根，
需满足：在上有一个实数根，在上有两个实数根，
由图可知与有两个交点时，，
综上，，即实数的取值范围是，
故选：C.
关键点点睛：对于零点问题常转化成方程根的个数问题，分离常数后构造函数，讨论单调性，数形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围.
7. 若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先判断和的大小关系，即可得到，再利用糖水不等式得，利用导数说明函数的单调性判断即可.
【详解】先证明，记，则，
所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，即成立；
由糖水不等式可得：，故；
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，因为，所以，故C正确，
故选：C.
8. 已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】对函数进行变形，构造新函数，转化为新函数的单调.再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.对于单调递增，再构造函数，得到单调性，求出范围即可.
【详解】由题意可知的定义域为，
且，
记，在定义域上单调，可得必为单调函数.
若在定义域上单调递增，
则恒成立，即，
令，可得，
又因为函数在时值趋近于0，不符合题意；
若单调递减，则恒成立，
即，
令，即，可知，
设，，则，
当时，不成立；
当时，，当时，；当时，；
可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，即，
可得，即，解得.
故选：D.
关键点点睛：本题关键点是将原函数变形为，记，将在定义域上单调，转化为为单调函数.最后借助分类讨论和导数研究得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】构造函数，则，
因为，所以，故是增函数.
由得，，
即，故A正确；
由得，，
即，故B正确；
由得，，
即，故C错误；
由得，，
即，即，故D正确.
故选：ABD．
10. 设函数则下列说法正确的有（ ）
A. 函数仅有1个零点
B. 是的极小值点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作三条直线与的图象相切
【正确答案】ACD
【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.
【详解】对AB，，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；
对C，由，得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对D，设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值
D. 在区间上有两个零点
【正确答案】BC
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【详解】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有_________
【正确答案】36
【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解.
【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，
所以甲乙都不站两端的不同站法共有种.
故答案为.
13. 已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出范围.
【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点，
则当时，直线与射线有一个交点，
当时，直线与函数有2个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图，
令直线与图象相切的切点为，由求导得：，
则，解得，即直线与图象相切时，，
因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点，
由，解得，由，得，
即，因此，函数上递减，
当时，，所以的取值范围是.
故
关键点点睛：利用导数求出直线与图象相切的值，结合图形求出方程有3个解的范围是求解的关键.
14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】先求导，将有两个极值点转化为和的图象有两个交点，画出图象，通过切线解决即可.
【详解】因为，所以，
因为有两个极值点，故有两个实数根，
即有两个实数根，
即和的图像有两个交点，画出图象，又恒过定点，

若，显然只有1个交点，不合题意；
若，则无交点，不合题意；
若，设直线和相切于点，由，则，
所以，
所以，解得，故切点是，所以，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求函数在上的最大值与最小值．
【正确答案】（1）
（2）最小值为，最大值为．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）求得函数在上的单调性，再由极值定义计算可得结果.
【小问1详解】
函数的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
令，得，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此为的极小值点，也是最小值点，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求；
（2）条件可转化在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论.
【小问1详解】
设曲线在点处的切线的斜率，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即，
又的导函数，
所以，
所以，
所以，
【小问2详解】
由若在上单调递增，可得在上恒成立，
由（1）可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，其中，
又当时，，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
17 已知函数
（1）若求的单调区间;
（2）若在上不单调，求的取值范围.
【正确答案】（1）上单调递增区间为单调递减区间为
（2）
【分析】（1）求导，令即可求解；
（2）求导可得，设，则，解之即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
，
令或，或，
在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
，
设，
注意到，要使在上不单调，
只需满足，解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明.（是直线的斜率）
【正确答案】（1）①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析
【分析】
（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；
（2）根据斜率公式，由题意，得到，再由，将证明的问题转化为证明，令，即证时，成立，设，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.
【详解】（1）函数的定义域为，
且
①当时，，此时在单调递增；
②当时，令可得或（舍），，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上：①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意得，
所以
又，
要证成立，
即证：成立，
即证：成立.
令，即证时，成立.
设
则
所以函数在上增函数，
所以，都有，
即，，
所以
本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.
19. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）①当时，恒成立，求正整数k的最大值；
②证明：．
【正确答案】（1）极小值，无极大值
（2）①；②证明见解析
【分析】（1）由函数解析式，利用导数求其单调性，根据极值的定义，可得答案；
（2）①由（1）所得函数的单调性，分情况求得最值，②利用不等式性质以及裂项相消，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，，，又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取极小值，
所以函数有极小值，无极大值.
【小问2详解】
①因为当时，恒成立，所以，
由（1）若，则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，令，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
由，，，
则存在使得，所以的解集为，
综上满足条件的正整数的取值范围，其中，
所以正整数的最大值.
②证明：要证1+1×21+2×31+3×4⋯1+nn+1>en2−3n+1，
即证ln1+1×2+ln1+2×3+ln1+3×4+⋯+ln1+nn+1>2n−3nn+1，
由①知lnx>3x−1x−1=2−3x，令，
则ln1+nn+1>2−3nn+1+1>2−3n−3n+1，
所以ln1+1×2+ln1+2×3+ln1+3×4+⋯+ln1+nn+1>
，
故1+1×21+2×31+3×4+…+1+nn+1>2n−3nn+1.