江苏省苏州市吴中区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市吴中区2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试题（附答案），共21页。试卷主要包含了 下列表达式化简结果与相等的是， 已知，，则， 已知，且，则， 已知函数满足，且当时，，则， 曲线与直线的交点个数为， 下列四个等式中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．单项选择题（每题只有一个选项符合）
1. 下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可.
【详解】对于A，，不满足题意，故A错误；
对于B，，满足题意，故B正确；
对于C，，不满足题意，故C错误；
对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误.
故选：B.
2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由平面向量共线定理解方程组即可得.
【详解】依题意可得存在实数满足，
即，又，不共线，
可得，解得.
故选：D
3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.
【详解】对于A，的最小正周期为，，则，此时函数单调递增，故A错误；
对于B，，最小正周期为，，则，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，的最小正周期为，，则，此时函数单调递增，故C错误；
对于D，，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为，
当，则，上单调递减，故D正确.
故选：D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值.
【详解】因为，
所以，又，所以，
则，.
故选：D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出、的值，进而得到、的值，最后根据，利用两角和的正切公式计算.
【详解】已知，，所以.
因为，所以.
可得：
则.
已知，，所以.
因为，所以.
可得：
则.
因为，根据两角和的正切公式可得：
故选：D.
6. 已知函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，，
因为函数，在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，
所以，
故选：D.
7. 曲线与直线的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】A
【分析】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数.
【详解】，，
，
作出与的大致图象，易知共有3个交点.
故选：A

8. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系 ，得，结合函数的单调区间即可确定答案.
【详解】由是偶函数，得，故，
所以对任意都成立，且，
所以，因为，所以．
由的图象关于点对称，得，
令得，所以，
因为，所以，
又，得，，
解得，
当时，，在上是减函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上不是单调函数．
综上可得，或．
故选：C．
二．多项选择题（每小题有多个选项符合，全选得6分，漏选得部分分，错选得0分）
9. 下列四个等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】对A，利用余弦二倍角公式求解；对B，通分后利用两角差的正弦公式，二倍角正弦公式化简；对C，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简；对D，利用两角和的正切公式化简计算.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
10. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为；
B. 的图象关于对称；
C. 是的一个零点；
D. 在单调递减；
【正确答案】ABC
【分析】根据图象的平移得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期判断A，利用对称性判断B，根据零点定义判断C，利用正弦型函数对称性判断D.
【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故A正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故B正确；
由，得，是的一个零点，故C正确；
当时，，在上单调递增，故D错误.
故选：ABC
11. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波叠加而成，即，设，，若图中所示为的部分图象，则下列描述正确的是（ ）
A.
B. 的最小正周期是
C. 若，则
D. 不存在，使得恒为0
【正确答案】AD
【分析】根据三角函数图形得出函数解析式判断A，根据周期的最小正周期计算判断B，代入应用三角恒等变换判断C，联立恒成立平方求和计算求解判断D.
【详解】对于A，由题图可知，，且，所以，
又，所以，因为，所以，所以，故A正确.
对于B，因为，所以的最小正周期均为，所以的最小正周期为，故B错误.
对于C，若，
则
，故C错误.
对于D，，即，
展开得，
若等式恒成立，则则平方求和得，
所以.因为，所以，
同理可得，因为，所以，
所以，与矛盾，故D正确.
故选:AD.
三．填空题
12. 写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________．
①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3．
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择.要注意答案不唯一.
【详解】由题意：函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3，
所以可以取三角函数（答案不唯一）
故（答案不唯一）.
13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________.
【正确答案】##
【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论.
【详解】，
当时，，
因为在区间上是增函数，
所以，则，
所以，
则的最大值是，
故答案为.
14. 函数在区间上有两个零点，则_____________
【正确答案】
【分析】利用换元法简化三角函数解析式然后根据余弦函数对称性得到，最后根据同角三角函数基本关系和诱导公式即可.
【详解】令，则函数在区间上有两个零点等价于：
函数在区间上有两个零点，
所以，所以由余弦函数图象情况可知，
且，，
所以，
所以，
故答案为.
四．解答题
15. 已知函数，.
（1）求的最小正周期和单调减区间；
（2）若（）为的一个零点，求的值.
【正确答案】（1），单调递减区间为；（2）
【分析】
（1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解；
（2）由可得，然后利用求解的值.
【详解】解：（1）
则的最小正周期为.
令得，，
所以函数的单调递减区间为.
（2）若，则，即，
又，所以，所以，
所以
.
本题考查利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题，考查利用三角恒等变换求三角函数值，难度一般. 解答时，辅助角公式，三角恒等变换公式的运用是关键.
16. 在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
（1）请利用上表中的数据，写出的值，并求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恒成立，求实数λ的取值范围.
【正确答案】（1），函数的单调递减区间为；
（2）
【分析】（1）根据表格中的数据求出的解析式即可；
（2）首先根据函数图像的变换求出的解析式，然后求出的值域，然后由可得，然后可得答案.
【小问1详解】
由表格中数据可得，，解得，
所以，
所以，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
【小问2详解】
将函数的图像向右平移个单位，得到的图像，
再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
由可得，
当时，，
因为在上恒成立，所以，解得.
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案；
（2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m，从而求出和关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的高度相等.
【小问1详解】
以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为，
当时，游客位于点，以为终边角为，
因为摩天轮半径，旋转角速度为，
所以，，
当，即，，
解得：，解得：，
因为min，
故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌
【小问2详解】
设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m，
，，
因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为，
故，，
因为，所以，
因为，所以，解得：，
所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的高度相等.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
（2）若函数在上不单调，求的取值范围；
（3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）， 对称轴;
（2）;
（3）.
【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴；
（2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围；
（3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围.
【小问1详解】
函数
,
所以函数的最小正周期，
由，所以函数图象的对称轴为；
【小问2详解】
由，
可得函数在区间上单调递增，
由于区间里面一定有，而，
所以函数在上不单调的等价条件是，
即满足或，解得：，
故的取值范围；
【小问3详解】
当时，，则，
所以函数的值域为，
再由，，都有恒成立，
则有，即，
故实数的取值范围．
19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若，；，，且与具有关系，求的像；
（3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）不具有，理由见解析；
（2）或或；
（3）或，
【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可；
（3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可.
【小问1详解】
与不具有关系，
理由如下：时，，，所以，
则与不具有关系；
【小问2详解】
由题意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像为或或；
【小问3详解】
对于，则，所以，
即，
因为与具有关系，
所以要满足题意需，使得即可.
令，
令，则，设，
①若，即时，，
则，
②若，即时，，
则，
③若，即时，，
则或，显然无解，
④若，即时，，
则或，显然无解，
综上所述：或，x
0
1
0
－1
0
1
0
0