江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题 2（附答案）

这是一份江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题 2（附答案），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若在R上可导，，则（ ）
A 1B. －1C. －2D. 2
【正确答案】D
【分析】求出导数，再代值计算即可.
【详解】解：由，可得，
所以，解得.
故选：D.
2. 已知函数，则函数在上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，进而求得在区间上的最大值.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，，单调递减，，，单调递增.
∴当时，函数，
当时，函数，∴，
∴在上的最大值为.
故选:D.
3. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得.
【详解】，
因为三次函数在上是减函数，
所以恒成立，
所以，解得，即实数取值范围是.
故选：A
4. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 的极大值为，极小值为
B. 在上单调递增
C. 的极小值为，极大值为
D. 在上单调递减
【正确答案】A
【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值.
【详解】解：当时，，由图象可得，
则，为增函数，D选项错误；
当时，，由图象可得
则，为减函数，B选项错误；
当时，由图象可得，
则，为减函数；
当时，，由图象可得
则，为增函数，
所以的极大值为，极小值为，选项A正确，C选项错误.
故选：A.
5. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 0B. 2021C. 2022D. 6
【正确答案】D
【分析】令，判断、的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答.
【详解】依题意，的定义域为R，令，则，
即是奇函数，有，则，
又，且有，即是偶函数，，
所以.
故选：D
6. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将函数恰有三个零点，转化为恰有三个零点，令，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】因为函数恰有三个零点，
所以恰有三个零点，
令，
所以，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时取得极大值，当时，取得极小值，
如图所示：
所以实数的取值范围为
故选：D
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想，属于中档题.
7. 若为函数（其中）的极小值点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】时为单调函数，无极值点不符合题意；令有两根为或，分、讨论，根据为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
由于，且，故有两根为或
①当时，若为极小值点，则需满足：，故有，
可得；
②当时，若为极小值点，则需满足：，故有：，
可得.
故A，B选项错误，综合①②有.
故选：C.
关键点点睛：解题的关键点是根据为极小值点得到的关系再结合不等式的性质解题.
8. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.
【详解】由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，关于的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.
二、多选题
9. 已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】
先根据点在函数的图象上，可求出，再设出切点，求出在点处的切线方程，然后根据点在切线上，即可解出．
【详解】因为点在函数的图象上，所以．
设切点，则由得，，即，
所以在点处的切线方程为：，即．
而点在切线上，∴， 即，
解得或，∴切线方程为：和．
故选：AD．
本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值；
B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减；
D. 设，则.
【正确答案】ABD
【分析】由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确.
【详解】函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A正确；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确.
故选：ABD
本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.
11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数恒有1个极值点
B. 当时，曲线恒在曲线上方
C. 若函数有2个零点，则
D. 若过点存在2条直线与曲线相切，则
【正确答案】BCD
【分析】先求导根据参数不同判断极值点个数，然后化归思想把零点问题和切线条数问题转化为方程的根进而转化为函数的交点的个数的问题即可.
【详解】，
对于A：因恒成立，所以当时，此时单调递减，
所以此时不存在极值点，A错误；
对于B：当时，令，
下面先证明和，
令，则，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以且当且仅当时取到等号；
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以且当且仅当时取到等号，
由上结论可得，
因为不能同时取等，所以两式相加可得，
即恒成立，即恒成立，
所以恒在曲线上方，B正确；
对于C：函数有2个零点等价于方程有两个根，
即有两个根，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，当时，
所以要使得有两个根，则，
所以，所以C正确；
对于D：设切点坐标为，则，
又因为切线经过点，所以，
所以，解得，
令，则，所以，
因为过点存在2条直线与曲线相切，所以方程有两个不同的解，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，当时，
所以要使得方程有两个根，则，D正确，
故选：BCD
方法点睛：若能熟练掌握和，则能迅速判断出B选项是正确的.
三、填空题
12. 函数的单调递减区间为____________．
【正确答案】##
【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可.
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
令，所以，
的单调递减区间为.
故或.
13. 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________．
【正确答案】
【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故
方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型.
14. 设函数，若在上有且只有一个正整数，使得，则a的取值范围是_______________.
【正确答案】
【分析】由题设可得，令、，则在上有且只有一个正整数使，即、的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)即可，利用导数研究的单调性，由解析式判断的定点，应用数形结合的思想确定参数a的范围.
【详解】由，，得，
令，.
由，在上，单调递减；在上，单调递增，
由经过定点，斜率为.
∴在上有且只有一个正整数使，即、的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)，
如下图，、，的斜率，的斜率，
∴时，符合题意，即.
故答案为.
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的极值．
【正确答案】（1）
（2）极小值为，极大值为
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的极大值和极小值.
【小问1详解】
解：因为，该函数的定义域为，则，
，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为，该函数的定义域为，
则，列表如下：
所以，函数的极小值为，极大值为.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是
（2）
【分析】（1）利用导数求函数的单调性；
（2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得.
【小问1详解】
当时，函数的定义域是，，
令，得，解得，故的单调递减区间是，
令，得，解得，故的单调递增区间是，
综上，的单调递减区间是，单调递增区间是.
【小问2详解】
由任意，知恒成立.
因，故，在上恒成立.
设，则，
令，得，（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得极大值，也是最大值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【正确答案】（1）函数在上单调递增
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案；
（2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
小问2详解】
原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度.
18. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）若 且 ， 证明： ．
【正确答案】（1）当时，的单调增区间为和，单调减区间为，
当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为和，单调减区间为.
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，令，解得或，含参分类讨论即可得到的单调性.
（2）由，转化为证：，令，利用导数法得到，转化为证，由，转化为证
，令，用导数证明．
【小问1详解】
解：的定义域为，，
因为，所以，令，解得或，
当时，即，恒成立，所以在为增函数，
当时，即，若和时，，若时，，所以在和为增函数，在为减函数，
当时，即，若和时，，若时，，所以在和为增函数，在为减函数，
综上所述：当时，的单调增区间为和，单调减区间为，
当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为和，单调减区间为.
【小问2详解】
令，定义域为，则，若，，若，，故在单调递增，在上单调递减，故，即，
欲证：，即证：，
令，．则，
因为，故，
所以，在上单调递增，
所以，
故欲证，只需证，
因为，所以，
即，
因为，故，故等价于证明：，
令，
则在上单调递增，
故，即，从而结论得证．
本题第二问关键是利用，转化为证明而得证．
19. 设函数（），其中为自然对数的底数，为实数．
（1）若在上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）求的零点的个数：；
（3）若不等式在上恒成立，求k的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）个零点
（3）
【分析】（1）由题意可得对恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可；
（2）求导，再分和讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论；
（3）不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，再分和两种情况讨论，求出函数的最值即可得解.
【小问1详解】
，
因在上单调递增，
所以对恒成立，
令，则，
则当 时，，当 时，，
故在上递减，在上递增，
则，
依题意，需使，即，故得：，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
由，得，
因为，若，则无零点，
当时，，故在上递增，
注意到，，
由零点存在定理，在上有唯一的零点；
所以有个零点；
【小问3详解】
不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
令，
又，所以在上恒成立，
当时，，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，
即，
所以函数在上单调递增，
所以，
故时，符合题意；
当时，函数在上单调递增，
则，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，
所以，使得，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，与题意矛盾，
综上所述，.
方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．减
极小值
增
极大值
减