江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题1（附答案）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题1（附答案），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】结合导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程.
【详解】，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
故选：D.
2. 已知函数则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据导数的定义和复合函数导数即可得到答案.
【详解】,
.
故选：A.
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. ​B. ​
C. ​D. ​
【正确答案】B
【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数小于解不等式可求出函数的单调减区间.
【详解】函数的定义域为，
由，得，
由，得，
因为，所以解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B
4. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A. 540B. 600C. 660D. 720
【正确答案】D
【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可.
【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案.
故选：D
5. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集.
【详解】记在上的零点为，
由在上的图象，知当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在唯一的零点是1，即，
所以当时，，当时，．
又为偶函数，所以当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：B．
6. 甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，利用排列数公式可得结果.
【详解】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，
所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为.
故选：D.
7. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围.
【详解】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，当时，；
若时，由求导得，，
因，故恒有，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或，
由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.
8. 函数的两个极值点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.
【详解】由函数，，令，
则，因为函数两个极值点，
则①，②，得③，设，
则且，代入③得，，
设，则，
设，则
，在单调递减，，
从而，在单调递减，，，
故最小值为．
故选：A
方法点睛：求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.
二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分）
9. 某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 两份汤相邻的摆法共有种
B. 每道素菜不相邻的摆法共有种
C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法
D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种
【正确答案】BCD
【分析】利用捆绑判断A，利用插空法判断B，利用定序倍缩法判断C，利用特殊位置法判断D，从而得解.
【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起，
共有种摆法，故A错误；
对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空，
共有种摆法，故B正确；
对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定，
所以有（种）不同摆法，故C正确；
对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空，
在其中任选两个空将两个汤品放进去，
再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确.
故选：BCD.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在单调递增.
B. 函数在单调递减.
C. 对任意，都有成立.
D. 存在，使得.
【正确答案】AC
【分析】利用导数求解单调性判断A，B，利用函数的凹凸性判断C，转化为零点问题，利用导数结合零点存在性定理判断D即可.
【详解】因为，所以，
易得，令，
所以，故恒成立，
故单调递增，即当时，恒成立，
所以函数在单调递增，故A正确，
易得，所以，
所以存在作为零点，
令，，令，，
所以函数在不单调递减，故B错误，
由已知得的二阶导数恒大于0，
所以是凹函数，所以成立，故C正确，
欲证，则证，
即证存在，，
令，即证存在，有零点即可，
而，令，
所以，故在上单调递增，
而，所以在上恒成立，
故在上单调递减，易得，
所以在上恒成立，
故在上不可能有零点，故D错误.
故选：AC
11. 已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（ ）
A.
B.
C. 当时，
D. 当时，若的所有根记为，，，，且，则
【正确答案】ACD
【分析】首先根据两个函数极小值相同，分别求导，求出两个函数的极小值，解出b，然后将两个函数图像作出，根据图像可以判断出BC，对于D，首先根据题意得到对应的等式，然后变形，采用等量替换的方法，即可求解.
【详解】，，，
在上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，而，且，
在上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，依据题意，和有相同的极小值，
故，解得，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若，则与、相交时，或者，故B错误.
由图像可知，当时，，所以，C正确；
若的所有根记为，，且时，
则有，，可得，
即，又
，同理可得，，则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（3*5分=15分）
12. 用0、2、4、6、8这5个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为_______.（用数字作答）
【正确答案】
【分析】由三位数的首位不为零，利用分步乘法原理，可得答案.
【详解】三位数的百位不能选零，则有种选择，而十位与个位分别有种与种选择，
所以三位数的个数为.
故答案为.
13. 已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】参变分离得到，构造函数，求导确定单调性，求得最小值即可求解.
【详解】对于任意的都有恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则，，
当时，，即在上递增，
故，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为.
14. 已知实数满足且，则的最小值为__________.
【正确答案】
【分析】首先通过对数运算法则对已知等式进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再根据函数值相等及单调性得到与的关系，进而得到关于的表达式，构造新函数，通过求导判断其单调性来求解最小值.
【详解】，即，
设，则上式表明，
求导得，当时，在上单调递增，
由于
，令，
，当时，单调递减；当时，单调递增，
.
故答案为.
四、解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分）
15. 设函数， ．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存零点，则在区间上仅有一个零点．
【正确答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.
【详解】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.
试题解析：（Ⅰ）由，（）得
.
由解得
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.
因为存在零点，所以，从而.
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点.
当时，区间上单调递减，且，，
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.
16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求k，b的值；
（2）设函数，若有两个实数根，求出t的取值范围并求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）；的最小值为
【分析】（1）求导得，由导数的几何意义可得，即可得出切线方程，进而可得到答案；
（2）由（1）得，做出的图像，由图像即可求出t的取值范围，令，所以，令，求导分析单调性即可得出答案.
【小问1详解】
，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，作出函数的大致图象，
因为有两个实数根，
所以与有两个不同的交点，由图可知；
令，得出，
令，所以，
令，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以最小值为，所以的最小值为.
所以，的最小值为
17. 已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可；
（2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可.
【小问1详解】
，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意，
所以当，，即，
即，即，
代入，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为.
18. 已知函数.
（1）若，当与的极小值之和为0时，求正实数a的值；
（2）若，证明恒成立；
（3）若，求证.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）根据极小值的定义计算即可；
（2）结合（1）应用，再构造函数求出值域即可证明；
（3）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可.
【小问1详解】
定义域均为，
，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在取极小值，且；
又，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在取极小值，且，
所以，解得.
【小问2详解】
当时，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，且，
令，单调递减，，所以，
所以恒成立；
【小问3详解】
令，因为，所以，
由可得：，
作差得：，所以，
要证：，只要证：，
只要证：，
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只需证：，
令，
所以在上单调递增，所以，
即有成立，所以成立.
19. 已知函数.
（1）若只有2个正整数解，求a的取值范围；
（2）①求证：方程有唯一实根，且；
②求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）在同一平面直角坐标系下画出函数与直线的图象，结合图象分类讨论即可求解；
（2）①由方程可得，构造函数，利用导数研究函数单调性可知.设，根据的单调性及零点存在性定理即可证明；
②对求导得，结合①可判断函数的单调性，进而可求的最大值.
【小问1详解】
当时，，不等式恒成立；
在同一平面直角坐标系下画出函数与直线的图象，如下图所示.
由于不等式只有2个正整数解，
结合图象可知：当时，时函数的图象恒在直线上方，
即与不等式有无数个正整数解，不符合题意，舍去；
当时，，，此时不等式恒成立，
故要使原不等式只有2个正整数解，结合图象可知，即.
综上，若只有2个正整数解，则a的取值范围为.
【小问2详解】
①证明：方程即，
即.
，，，即.
设，则，且，.
，在上单调递增，
，即.
设，则在上单调递增，
且，，
∴存在唯一实根，使得，
即方程有唯一实根，且.
②，
则.
由①知有唯一零点，且，
有唯一零点，且.
又，.
故时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减.
，
的最大值为.-
+