江苏省苏州市姑苏区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市姑苏区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知，则 （ ）
A. B. C. 1D. 0
【正确答案】D
【分析】根据导数的定义可得，求得得解.
【详解】由，可得，
即，又，则，
所以.
故选：D.
2. 文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ）
A. 30B. 42C. 56D. 3960
【正确答案】A
【分析】将教师的两个节目按照题目要求依次安排到学生的节目中，再利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，这6个节目之间有5个空位，
因为教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，则先将第一个教师节目安排到5个空位中，有5种方法；
再将第二个教师的节目安排到7个节目之间的6个空位中，有6种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法.
故选：A.
3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】D
【分析】求，利用导数的几何意义可求的值.
【详解】由题意得，函数的定义域为，且，
∴，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，
∴，即，故.
故选：D.
4. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解.
【详解】令，则，
则当时，，即在上单调递减，
由，则，又，
即不等式等价于，
即，即有，解得.
故选：D.
5. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】，
因为函数在上不单调，
所以函数有零点，
所以方程 有根，
所以函数与 有交点（且交点非最值点），
因为函数的值域为，
所以 .
故选：D
6. 已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】由，得在上恒成立，
令，则，
所以在上单调递增，故，即.
故选：D
7. 设奇函数在R上存在导数，且在 上，若，则实数 m的取值范围是.
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
构造辅助函数，由是奇函数，，可知是奇函数，求导判断的单调性，，即，解得的取值范围．
【详解】解：令，
，
函数为奇函数，
时，
，
函数在为减函数，
又由题可知，，，
所以函数在上为减函数，
，
即，
，
．
故选：．
本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
8. 已知函数，记则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据定义法可得函数为奇函数，利用导数可得在上单调递增，由此可比较函数值的大小.
【详解】∵函数定义域为，，
∴为奇函数，故.
由题意得，.
∵，当且仅当时等号成立，，
∴，即在上单调递增.
∵，
∴.
故选：B.
二、多选题
9. 已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ）
A. 分别是极大值点和极小值点B. 分别是极大值点和极小值点
C. 在区间上是增函数D. 在区间上是减函数
【正确答案】ABD
【分析】根据的正负，从而确定函数的单调性和极值点的情况，即可对每个选项进行判断.
【详解】根据的图象可知：
当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增；
对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误；
对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误.
故选：ABD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 若是增函数，则
C. 当时，函数恰有两个零点
D. 当时，函数恰有两个极值点
【正确答案】BD
【分析】利用奇偶性定义计算可判断A；利用导数研究恒成立求得的范围判断B；结合B结论判断C；利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.
【详解】A，因为，
则，故A错误；
B，若为增函数，则恒成立，故恒成立，
令，则可得为偶函数，
又，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以在上，在上，
即在上递减，在上递增，
故当时，取得最小值，所以，故B正确；
C，当时，为奇函数，且，
当时，恒成立，即在区间上单调递增，
根据奇函数的对称性可知函数在上单调递增，故在上单调递增，
，即只有一个零点，故C错误；
D，当时，为奇函数，
故先考虑时，函数极值存情况，
则，令，
因为单调递增，则，故单调递增，
且，，故存使得，
因此，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故为函数在上的唯一极小值点，
根据奇函数的对称性可知，当时，存在为函数在上的唯一极大值点，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数的导函数为（ ）
A. 若有三个零点，则B.
C. 是的极小值点D. 当时，则
【正确答案】ABD
【分析】利用导数判断出单调性并求出、，结合零点定义逐项判断可得答案.
【详解】因为函数，所以，
令，解得，或，
当，或，，当，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
，，
对于A，由得，
即，，
因为在上单调递减，所以在上只有一个零点，
因为，在上单调递增，
可得在上只有一个零点，
因为，在上单调递增，
可得在上只有一个零点，
综上，有三个零点，故A正确；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，是的极大值点，故C错误；
对于D，当时，则，
解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得.
【详解】，
设，则，
故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增，
在区间上单调递减，故，的取值范围是.
故
13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解.
详解】设，则．
由当时，，得，即，故在区间上单调递增．
又，所以，即．
因为为上的偶函数，所以，
即，计算得，所以，
解得或．
故答案为.
14. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是______；
【正确答案】
【分析】不等式恒成立等价于，构造函数，易得在上单调递增，故原问题等价于在时恒成立，从而易得的范围.
【详解】对任意的，不等式恒成立，整理可得，
设，则
可知在上单调递增，
又因为，，且，
则在时恒成立，
设，则
可知在上单调递增，则的最小值为，
则，解得，
所以的最大值是.
故答案为.
方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
四、解答题
15. 已知函数在处的切线平行于轴．
（1）求实数的值；
（2）求函数的极小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求函数的导函数，再根据切线斜率为0计算求参；
（2）先求函数的导函数，再求解函数的单调性进而得出函数的极小值即可.
【小问1详解】
由可得，
则，
由于，故，
【小问2详解】
，
当或时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极小值为
16. 已知函数．
（1）当时，证明函数在单调递增；
（2）若函数在有极值，求实数a的取值范围；
（3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1个
【分析】（1）求导通过，即可求证；
（2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可；
（3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解；
【小问1详解】
当时，由，可得，
因，则，又因为，则，
所以函数在单调递增；
【小问2详解】
，
因为函数在有极值，所以在有变号的根，
又因为在单调递增，则，
即，所以，解得，
故实数a的取值范围为；
【小问3详解】
因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，
解得．
故则，
当时，，即在单调递增，
因，所以在没有零点；
当时，，即在没有零点．
综上所述，函数的零点个数为1个．
17. 已知函数.
（1）若函数，求的单调区间；
（2）若有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）函数的减区间为，增区间为，
（2）
【分析】（1）求得，利用导数和函数的单调性之间的关系可求得函数的单调间；
（2）分析可知关于方程有两个不相等的负数根、，利用一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
因为，
则函数的定义域为，
所以，
令，得；令，得或，
所以，函数的减区间为，增区间为，.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为有两个都小于的极值点，
所以有两个不相等的负数根、，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
18. 已知，函数，其中…为自然对数的底数.
（1）证明：函数在上有唯一零点；
（2）记为函数在上的零点，证明.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】1）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（2）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式.
【小问1详解】
在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
【小问2详解】
，
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19. 已知，函数在处取得极值．
（1）求a；
（2）证明：对任意的m，，都有；
（3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）5．
【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可；
（2）设，验证的单调递增，即有，即可得证；
（3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可.
【小问1详解】
，
因为在处取得极值，
所以，所以，
解得．
经验证当时，在处取得极小值，符合题意，
故．
【小问2详解】
对任意的m，，设，则，
由（1）知，则在上单调递增，
所以当时，，即，所以在上单调递增，
因为，所以，即，
故．
【小问3详解】
存在实数，使得成立，即成立．
令，，则，，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增．
又，，
故存在唯一的，使得，即．
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，结合，得，
故k的最小整数值为5．