广东省广州市天河中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市天河中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z满足z⋅(1−i)=2i，则复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为( )
A. 1+ 22B. 2+ 22C. 1+ 2D. 2+ 2
3.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−|a|e(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅b=b⋅c⇒a=c
4.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
5.已知向量a，b不共线，且向量c=a+λb，d=(2λ−1)a+b，若c与d方向相反，则实数λ的值为( )
A. −1B. −12C. 1或−12D. −1或12
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，
AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则AE⋅BE的最小值为( )
A. 2116B. 32
C. 2516D. 3
7.设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=π3，a= 3，则b2+c2+bc的取值范围为( )
A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]
8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，则AE=( )
A. 1225a−1625bB. 1625a+1225bC. 1225a+925bD. 925a−1225b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z|=2，则( )
A. z可以是−1+ 3iB. 若z为纯虚数，则z的虚部是2
C. zz−=4D. |z+1|min=1
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a=8,c=10,A=π4，则符合条件的△ABC有两个
11.在△ABC中，C=45°,(AB+3AC)⋅BC=0，则下列说法正确的是( )
A. sinB= 1010B. tanA=2
C. BA在BC方向上的投影向量为34BCD. 若|AC|= 2，则AB⋅AC=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，复数z=(2−i)(3+2i)，则z−= ______．
13.在△ABC中，a=2，b=3，若该三角形为钝角三角形，则边c的取值范围是______．
14.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB=csC−sinCcsC+sinC，a= 2c，点D在边BC上，AD=b且△ADB的面积为2− 32，则AC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=e1−e2，b=2e1+e2，其中e1=(−1,1)，e2=(1,0)，求：
(Ⅰ)a⋅b和|a+b|的值；
(Ⅱ)a与b夹角θ的余弦值．
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csA(ccsB+bcsC)=a．
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3，求b，c的值．
17.(本小题15分)
已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：tan41°= 32).
(1)试问乙船航行速度的大小；
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东…度)．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2csB，a2+b2−c2= 2ab．
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，且BD=1，求△ABC的面积．
(3)若△ABC的面积为3+ 3，求c．
19.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，已知△ABC的面积为S1= 34(AC2−AB2−BC2)，记△ACD的面积为S2．
(1)求∠ABC的大小；
(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长最大值．
(3)若CD= 3BC，设∠CAD=30°，∠BCD=120°，问是否存在常数λ，使得S1=λS2成立，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由z⋅(1−i)=2i，
得z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i1−i2=−2+2i2=−1+i，
故复数z在复平面内对应的点为(−1,1)，位于第二象限．
故选：B．
利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在直观图中，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠ABC=45°，AB=1，
∴AE=BE= 22，
∴直角梯形ABCD的面积为12(1+ 22+1)× 22= 24(2+ 22)，
又∵S原图S直观图=2 2，
∴S原图=2 2× 24(2+ 22)=2+ 22，
即这块菜地的面积为2+ 22．
故选：B．
先求出直观图中直角梯形ABCD的面积，再利用原图形和直观图面积之间的关系求解．
本题主要考查了原图形和直观图面积之间的关系，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于非零向量a，b，由a⋅b=0⇒a⊥b，故A错误；
当a与b共线同向时，a在b上的投影向量为|a|e，故B错误；
a⊥b时，a⋅b=0，(a⋅b)2=02=0，a⋅b=(a⋅b)2，故C正确；
由a⋅b=b⋅c，得b⋅(a−c)=0，即b与a−c垂直，不一定有a=c，故D错误．
故选：C．
由数量积与向量垂线的关系判断A；由投影向量的概念判断B，由向量垂直数量积为0判断C；由向量运算判断D．
本题考查命题的真假判断与应用，考查向量垂直与数量积的关系，考查向量在向量上的投影向量概念，是中档题．
4.【答案】D
【解析】解：由B=60°，b2=ac，可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=ac，
即(a−c)2=0，可得a=c=b，
所以△ABC为等边三角形，
故选：D．
由三角形的余弦定理和完全平方公式可得三角形的形状．
本题考查三角形的余弦定理的运用，以及三角形的形状判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题可得：存在实数k使c=kd(kb，根据正弦定理得2RsinA>2RsinB，
整理得sin A>sin B，故A正确；
对于B，因为sin2A+sin2B>sin2C，由正弦定理得a2+b2>c2，所以csC=a2+b2−c22ab>0，
可得C为锐角，但因为A，B中可能有钝角，故B错误；
对于C，acsA=bcsB，
由正弦定理得sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
所以A=B或A+B=π2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得sinC=c⋅sinAa=10× 228=5 28，即 22A，A为锐角，所以存在满足条件的△ABC有两个，故D正确．
故选：AD．
根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可．
本题主要考查解三角形的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，(AB+3AC)⋅BC=0，即[(CB−CA)−3CA]⋅(−CB)=0，可得CB⋅(4CA−CB)=0，
整理得|CB|2=4CA⋅CB，即a2=4abcsC，结合C=45°，化简得a=2 2b，
根据正弦定理，可得sinA=2 2sinB，即sin(B+C)=2 2sinB，
所以sinBcsC+csBsinC=2 2sinB，即 22sinB+ 22csB=2 2sinB，
整理得csB=3sinB，结合sin2B+cs2B=1，B∈(0,π)，解得sinB= 1010，故A项正确；
对于B，由A项的分析，可得tanB=sinBcsB=13，
结合C=45°，可得tanA=tan(135°−B)=−1−131−13=−2，故B项不正确；
对于C，由a=2 2b，C=45°，根据余弦定理得c2=a2+b2−2abcs45°=5b2，所以c= 5b.
由A的结论，可知csB=3sinB=3 1010，
所以BA在BC方向上的投影向量为BA⋅BC|BC|2⋅BC=accsBa2⋅BC=2 2b⋅ 5b⋅3 10108b2⋅BC=34BC，故C项正确；
对于D，由B项的分析，可知tanA=−2