广东省广州市天河外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省广州市天河外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A. ＋B. ＋
C. D. ＋
3. 平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A. B. C. D.
5. 在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A. 4B. 5C. 6D. 6或
6. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
7. 我们定义：“”为向量与向量“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A. 最大值为B. 最大值为1
C. 最大值是2D. 最大值是
11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为
C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若O是的外心，，则
三、填空题
12. 已知，，若点在线段AB的中垂线上，则_____.
13. 已知是O坐标原点，，若点C满足，则a值为__________．
14. 已知点P为内一点，，则__________．
四、解答题
15. 已知向量．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
16. 已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围．
17. 在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点．
（1）求证：；
（2）最小值．
18. 在斜中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且．
（1）求；
（2）若点M为AC中点，且，求面积．
19. 在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
（1）已知，，求；
（2）①已知，的夹角为，且，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求.
2024级高一年级第二学期3月月考
学校：______姓名：______班级：______考号：______
一、单选题
1. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可.
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
2. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A. ＋B. ＋
C. D. ＋
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
3. 平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解.
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上投影向量为.
故选：C
4. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故选：D
5. 在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A. 4B. 5C. 6D. 6或
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理化简可得，再结合条件即可求得答案.
【详解】由得，即，
又，，故，（舍），
故选：C
6. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C
7. 我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设分别为中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故，
又因为，即，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
且，所以的最大值为.
故选：D.
8. 已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果.
【详解】设，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因为，即，
且，可知，
则，即，
又因为，则，
可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．
（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．
二、多选题
9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可.
【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确；
向量的数量积满足交换律，所以，故正确；
根据数量积定义知，数量积为一实数，
所以为，表示与共线的向量，
而为，表示与共线的向量，
所以不一定成立，故错误；
根据数量积定义知，故正确；
故选：.
10. 正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A. 最大值为B. 最大值为1
C. 最大值是2D. 最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为
C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若O是的外心，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等变换公式化简求出值域判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C；根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，即，
且，所以.
对于选项A：因为
，
且，则，可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可得，
即，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的面积的最大值为，故B正确；
对于选项C：因，
又因为，解得，
可得，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，则，
可知点在优弧上（端点除外），
因为，则，
又因为，
且，可得，即，
又因为，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
可得，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现；
2．正确理解并掌握向量的概念及运算注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用；
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
三、填空题
12. 已知，，若点在线段AB的中垂线上，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】求得AB的中点，由已知得，利用向量垂直的坐标运算可得解.
【详解】，，设AB的中点为M，则，，
由题意可知，，则，
所以，解得：.
故答案为：
13. 已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可.
【详解】因为，则，
则，
可得，
则，
可得，解得.
故答案为：.
14. 已知点P为内一点，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，进而可得，根据模长结合数量积的运算律分析求解即可.
【详解】设，
则，，
可得，
，
两式相减可得，
可得，
所以.
故答案为：2.
四、解答题
15. 已知向量．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长.
（2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.
【小问1详解】
因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以.
【小问2详解】
由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角.
16. 已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
（2）由，得，由正弦定理和面积公式得，利用为锐角，得角的范围，由正弦函数的性质，得面积的取值范围.
小问1详解】
，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
【小问2详解】
已知，由，得，
由正弦定理，得，
，
由是锐角三角形，有，得，，
则，所以，
即面积的取值范围是．
17. 在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点．
（1）求证：；
（2）的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证；
（2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解.
【小问1详解】
连接，如图
∵，∴
由得
即.
【小问2详解】
∵，∴
则四边形为平行四边形，∥，
.
由，得，
∴，∴，
由得，，即
所以
18. 在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
（1）求；
（2）若点M为AC中点，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）的面积为
【解析】
【分析】（1）证明，求出，求出，根据求出；
（2）先证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，根据正弦定理求出三边比例关系，求出和，求出的面积.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，所以或，
当时，因为，
所以，此时，
所以，因为，
所以，所以；
【小问2详解】
先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，
如图，是中线，是高线，
因为，，，，
所以
，
回到题目中，设，
所以，，，
所以，
设，，，
因为，所以，
所以，，
所以
【点睛】关键点点睛：本题关键（2）关键在于证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍.
19. 在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
（1）已知，，求；
（2）①已知，的夹角为，且，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求.
【答案】（1）1 （2）①证明见解析；②
【解析】
分析】（1）按题意直接代入公式运算.
（2）①先通过向量坐标运算得到，推出，再结合题意分析证明.
②依据角平分线性质和数量积得出，知道点是的重心，然后求得出结果.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
①因为
，
且，，则，所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点P为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以.