2024-2025学年广东省广州市天河中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市天河中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z满足z⋅(1−i)=2i，则复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为( )
A. 1+ 22B. 2+ 22C. 1+ 2D. 2+ 2
3.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−|a|e(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅b=b⋅c⇒a=c
4.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
5.已知向量a，b不共线，且向量c=a+λb，d=(2λ−1)a+b，若c与d方向相反，则实数λ的值为( )
A. −1B. −12C. 1或−12D. −1或12
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，
AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则AE⋅BE的最小值为( )
A. 2116B. 32
C. 2516D. 3
7.设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=π3，a= 3，则b2+c2+bc的取值范围为( )
A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]
8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，则AE=( )
A. 1225a−1625bB. 1625a+1225bC. 1225a+925bD. 925a−1225b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z|=2，则( )
A. z可以是−1+ 3iB. 若z为纯虚数，则z的虚部是2
C. zz−=4D. |z+1|min=1
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a=8,c=10,A=π4，则符合条件的△ABC有两个
11.在△ABC中，C=45°,(AB+3AC)⋅BC=0，则下列说法正确的是( )
A. sinB= 1010B. tanA=2
C. BA在BC方向上的投影向量为34BCD. 若|AC|= 2，则AB⋅AC=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，复数z=(2−i)(3+2i)，则z−= ______．
13.在△ABC中，a=2，b=3，若该三角形为钝角三角形，则边c的取值范围是______．
14.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB=csC−sinCcsC+sinC，a= 2c，点D在边BC上，AD=b且△ADB的面积为2− 32，则AC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=e1−e2，b=2e1+e2，其中e1=(−1,1)，e2=(1,0)，求：
(Ⅰ)a⋅b和|a+b|的值；
(Ⅱ)a与b夹角θ的余弦值．
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csA(ccsB+bcsC)=a．
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3，求b，c的值．
17.(本小题15分)
已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：tan41°= 32).
(1)试问乙船航行速度的大小；
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东…度)．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2csB，a2+b2−c2= 2ab．
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，且BD=1，求△ABC的面积．
(3)若△ABC的面积为3+ 3，求c．
19.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，已知△ABC的面积为S1= 34(AC2−AB2−BC2)，记△ACD的面积为S2．
(1)求∠ABC的大小；
(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长最大值．
(3)若CD= 3BC，设∠CAD=30°，∠BCD=120°，问是否存在常数λ，使得S1=λS2成立，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.A
9.ACD
10.AD
11.AC
12.8−i
13.(1, 5)∪( 13,5)
14. 3−1
15.解：(I)向量a=e1−e2=(−1,1)−(1,0)=(−2,1)，
b=2e1+e2=2(−1,1)+(1,0)=(−1,2)．
a+b=(−3,3)．
∴a⋅b=−2×(−1)+1×2=4．
|a+b|= (−3)2+32=3 2.(
(II)csθ=a⋅b|a| |b|=4 5⋅ 5=45．
16.解：(1)根据余弦定理，可得ccsB+bcsC=c⋅a2+c2−b22ac+b⋅a2+b2−c22ab=a，
由2csA(ccsB+bcsC)=a，得2acsA=a，解得csA=12，
结合A∈(0,π)，可得A=π3；
(2)根据余弦定理，可得a2=b2+c2−2bccsA=4，即b2+c2−bc=4…①，
由三角形的面积公式，可得S△ABC=12bcsinA= 3，即 34bc= 3…②．
根据①②组成方程组，解得b=c=2．
17.解：(1)设乙船运动到B处的距离为t海里．
则t2=AC2+AB2−2AB⋅AC⋅cs120°=102+202−2×10×20×12=700，
∴t=10 7．
∴乙船航行速度为10 7÷2=5 7海里/小时；
(2)设∠ACB=θ，则10 7sin120°=20sinθ，
则sinθ= 217，∴θ=41°．
∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援．
18.解：(1)因为sinC= 2csB，a2+b2−c2= 2ab，
由余弦定理有a2+b2−c2=2abcsC，
可得csC= 22，
因为C∈(0,π)，
可得C=π4，
又因为sinC= 2csB= 22，即csB=12，
又因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)由角平分线得∠ABD=∠CBD=π6，所以∠BAD=∠BDA=5π12，AB=BD=1，
sin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6= 22( 32+12)= 6+ 24，
在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=BDsin∠C,BC= 3+12，
所以S△ABC=12AB⋅BCsinB=12×1× 3+12× 32=3+ 38；
(3)由(1)可得B=π3，csC= 22，
C∈(0,π)，可得C=π4，A=π−π3−π4=5π12，
而sinA=sin5π12= 6+ 24，
由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，
从而a= 6+ 24⋅ 2c= 3+12c,b= 32⋅ 2c= 62c，
由三角形面积公式可知S△ABC=12absinC=12⋅ 3+12c⋅ 62c⋅ 22=3+ 38c2，
由已知△ABC的面积为3+ 3，可得3+ 38c2=3+ 3，
所以c=2 2．
19.解：(1)在△ABC中，因为AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB，
所以AC2−AB2−BC2=−2AB⋅BCcsB，
因为S1= 34(AC2−AB2−BC2)=12AB⋅BC⋅sinB，
所以− 3csB=sinB，
即tanB=− 3，
又因为B∈(0°,180°)，
所以∠ABC=120°；
(2)因为2R=ACsinB=ABsin∠BCA=BCsin∠BAC，又R=1，
所以AC= 3，AB=2sin∠BCA，BC=2sin∠BAC，
由(1)可知∠ABC=120°，所以∠BCA+∠BAC=60°，
所以△ABC的周长l=AB+BC+AC=2sin∠BCA+2sin∠BAC+ 3，
=2sin∠BAC+2sin(60°−∠BAC)+ 3，
=sin∠BAC+ 3cs∠BAC+ 3，
=2sin(∠BAC+60°)+ 3，
因为∠BAC∈(0°,60°)，所以∠BAC+60°∈(60°,120°)，
所以sin(∠BAC+60°)∈( 32,1],
所以△ABC的周长的取值范围是(2 3,2+ 3],
所以△ABC的周长的最大值为2+ 3；
(3)设∠ACB=α，则∠ACD=120°−α，D=30°+α，∠CAB=60°−α，
在△ACD中，因为，CDsin∠CAD=ACsinD，
即CDsin30∘=ACsin(30∘+α)，
在△ABC中，因为BCsin∠CAB=ACsinB，
即BCsin(60∘−α)=ACsin120∘，
因为CD= 3BC，
两式作商得，sin(60°−α)sin(30°+α)=cs(30°+α)sin(30°+α)=14，
即sin(60°+2α)=12，因为α∈(0°,120°)，
所以60°+2α∈(60°,300°)，
所以60°+2α=150°，所以α=45°，
所以S1=12AC⋅BCsin45°，S2=12AC⋅DCsin(120°−45°)=12AC⋅DCsin75°，
假设S1=λS2，
所以12AC⋅BC⋅ 22=λ⋅12AC⋅DC⋅( 32× 22+12× 22)，
即 22⋅BC=λ⋅ 3⋅BC⋅( 6+ 24)，
解得λ=3− 33．