广东省2024−2025学年高一下学期4月五校联考数学试题（含解析）

这是一份广东省2024−2025学年高一下学期4月五校联考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．简谐运动的相位与初相是（ ）
A．，B．，4
C．，－D．，
2．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
4．函数在y轴两边的局部图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．和B．C．D．
6．已知，且，则的值为
A．B．C．D．
7．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．若关于的方程有解，则
D．若为锐角的一个内角，且，则
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ）

A．
B．点第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D．若在上的值域为，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的单调递增区间是 ．
13．计算 .
14．已知函数在区间上单调递减，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
16．已知，为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．已知函数在时的最大值为1.
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)求使成立的的取值集合.
18．如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.
(1)当时，求的面积最小值（的面积公式是）；
(2)求当的周长为2时，求的大小.
19．函数的一段图象如图所示
（1）求的解析式；
（2）把的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
参考答案
1．【答案】C
【详解】相位是，当时的相位为初相即．
故选C.
2．【答案】A
【详解】由，即.
故选A
3．【答案】D
【详解】因为，
所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度，
故选D.
4．【答案】B
【详解】，所以为偶函数，排除A，D；又∵，当时，.排除C选项，B选项正确.
故选B.
5．【答案】B
【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值.
【详解】由三角函数的定义可得，则，
整理可得，而，解得
故选B.
6．【答案】C
【详解】∵，
∴，，，
若，则，，不合题意，
∴，∴，
，∴．
故选C．
7．【答案】C
【详解】令，
则函数定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，
所以不等式的解集是.
故选C.
8．【答案】A
【详解】函数，其中，
由，得，而，
因此，即，则即，
所以.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】由图象知：，，；
又的最小正周期，，
，，
，解得：，又，
，；
对于A，，A正确；
对于B，当时，，
当时，单调递减，B错误；
对于C，当时，，
是的一条对称轴，C正确；
对于D，，，D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】；
对A：的最小正周期为，故A正确；
对B：，又是的最大值，则的图象关于对称，故B正确；
对C：若关于的方程有解，则的取值范围为的值域，
又，故，故C错误；
对D：，故可得，
为锐角三角形的一个内角，
，，
，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
则依题意，满足，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
则，由可得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；
对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故C错误；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
作出函数的图象，依题意需使
即，解得，故D正确.

故选ABD.
12．【答案】
【详解】由，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间是.
13．【答案】
【解析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．
【详解】由题意得
．
14．【答案】2
【详解】易知，
由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心；
所以，即；
又因为在区间上单调递减，所以，解得；
当时，此时，满足题意．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，
所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以，
解得．
16．【答案】（1）2；（2）．
【详解】（1）因为，为锐角，则，，，
则，，
而．
（2）由，得：
，，
则．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式，再根据最大值求；
（2）利用正弦函数的单调性确定区间；
（3）利用正弦函数的图象与性质确定的取值集合.
【详解】（1）
；
因为，所以，
所以当时，有最大值，
所以，所以.
（2），
令，
得，
所以函数的单调递减区间是.
（3），即，
所以，所以，
解得，
所以使成立的的取值集合是.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当，设，，
则，，，
，
因为，所以，
则，则，
则，
所以，
所以的面积的最小值为.
（2）设线段、的长度分别为、，，
因为正方形的边长为，
则，，
因为的周长为，所以，
则由勾股定理得，即，
又因为，，
则
因为，所以，
所以.
19．【答案】（1）.（2）.
【详解】（1）由最高点和最低点的纵坐标可得：，
函数的最小正周期：，则，
由过得：，
令可得：，
.
（2）由为偶函数
知即，取可得.