广东省惠州市五校2024_2025学年高一数学下学期4月联考试题含解析

这是一份广东省惠州市五校2024_2025学年高一数学下学期4月联考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设平面向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．在中，若，则此三角形（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定
6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ）

A．B．
C．D．
7．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
二、多选题
9．下列结论中错误的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
10．已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
11．在中，，则（ ）
A．B．的面积为8
C．D．的内切圆半径是
三、填空题
12．复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .

14．“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 m．
四、解答题
15．已知，向量．
(1)若向量，求向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为120°，求．
16．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的值：
(2)若，判断的形状．
17．已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
18．如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
19．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；
(1)求∠PAQ的大小；
(2)求面积的最小值；
(3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．
1．D
由有，根据向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由有.
故选：D.
2．A
根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算.
【详解】由有.
故选：A.
3．C
根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得,故.
故选：C
4．C
由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.
【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；
对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；
对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；
故选：C.
5．B
利用正弦定理求出，再结合，即可得出结论.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，
所以满足的有两个，所以此三角形有两解.
故选：B.
6．B
根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】因为,所以,,
所以...①,...②，
由①+②得：，即.
故选：B

7．B
根据投影向量的公式求解即可.
【详解】设为向量，的夹角，因为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
8．B
由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.
【详解】解：由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：B
9．ACD
由单位向量和零向量以及相反向量的定义即可判断.
【详解】对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1，方向任意，故A错误；
对于B：由相反向量的定义可知向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误.
故选：ACD.
10．AC
根据向量加法的三角形法则判断A，根据数量积的定义判断B，根据数量积的运算律判断C、D；
【详解】解：因为，，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，则，故C正确：
对于D：，即，故D错误；
故选：AC
11．ABD
利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解.
【详解】由，所以，
由余弦定理有：，
所以，故A正确；
由，所以，故B正确；
，故C错误；
设的内切圆半径为，则有，
即，故D正确.
故选：ABD.
12．
先计算复数，由复数为纯虚数，即实部为零即可求解.
【详解】由，所以，
因为复数为纯虚数，所以，即.
故答案为：.
13．
解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.
解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.
【详解】解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：.
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以.
故答案为：.
14．
先在中利用正弦定理求，再在中求即可.
【详解】依题意，中，，，即，解得.
在中，，即.
故答案为：
15．(1)或
(2)
（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；
（2）先求，再求后可求解.
【详解】（1）由，设，∴，
∵，∴，解得或
所以或．
（2）∵，，，
∴，
∴，∴．
16．(1)
(2)等边三角形．
（1）由正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理可得答案；
(2)由余弦定理得结合得，进而，从而可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，，
故，
再由余弦定理得，,
从而；
（2）因为，所以由余弦定理得
结合得，进而，
所以是等边三角形．
17．（1），；（2）．
（1）向量，对应的复数分别为，.利用即可得出得出结果.
（2）， 对应的点在第二象限，计算可得，，
进而计算即可得出结果.
【详解】解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
18．(1)
(2)
（1）由题意可知，即可求解；
（2），从而即可求解.
【详解】（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19．(1)
(2)
(3)该同学猜想正确，理由见解析
【详解】（1）记，，则．
（1）解法一：∵，∴，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为1，∴，，
在中，，，由，
则，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
设，，则．
在中，，即，
．
∵，∴．
（2），．
∴，
∵，∴．
∵，∴当时，面积的最小值为．
（3）设中PQ边上的高为h，由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
B
B
B
ACD
AC
题号
11









答案
ABD