广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024−2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024−2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量与且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
2．已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．B．10C．D．5
3．在中，角的对边分别为，若，则
A．B．C．D．或
4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．向量，为第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．3B．C．D．
8．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A．若，则B．若．则
C．若，则D．若，则
10．已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是
D．与夹角的余弦值为
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）.
13．如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
14．已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，且．
(1)若向量与互相垂直，求的值．
(2)若向量与互相平行，求的值．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的长．
17．设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
18．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.

(1)若，线段与交于点，求的值，
(2)若，求的最小值.
19．在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
(1)已知，，求；
(2)①已知，的夹角为，且，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求.
参考答案
1．【答案】D
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由正弦定理可得：
且 或
本题正确结果：
4．【答案】D
【详解】依题意，，而，
所以
故选D
5．【答案】D
【详解】因为是关于方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得，
故选D
6．【答案】B
【详解】由题设，且，为第三象限角，可得，
所以.
故选B
7．【答案】A
【详解】由向量与的夹角为，得，
由在方向上的投影向量为，得，则，
整理得，所以.
故选A
8．【答案】A
【详解】解：中，，
即，得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或（不合题意，舍去），则，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以，
由对勾函数在上单调递减，
可得：在单调递减；
，，
所以．
故选A．
9．【答案】BD
【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
对于B，设，由，得，
则，因此，，B正确；
对于C，取，满足，而，，C错误；
对于D，由，得都是实数，因此，D正确.
故选BD
10．【答案】BD
【详解】因为，
所以和不垂直，故A错误；
，
所以，故B正确；
因为与的夹角为钝角，
所以，
因为与不共线，所以不存在使得，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
13．【答案】/
【详解】由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得（舍）或.
14．【答案】
【详解】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，所以为圆的直径.
所以.
又，则点在以为圆心，2为半径的圆上.所以.
因为
设，则
.
因为，所以.
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
（2）由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
16．【答案】(1)；(2).
【详解】(1)由AB∥CD可得，则，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，
所以的长为.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，
因为，所以，，
即，
因为，所以，
从而，
联立方程组解得，
因此.

（2）因为是线段上一点，，所以，
又因为，所以，因此，
又,即,
由第一问知，
所以.
令，
因此
，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
19．【答案】(1)1
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）①因为
，
且，，则，所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点P为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以.