广东省广州三校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（含答案解析）

这是一份广东省广州三校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 设集合，则（ ）
2. 已知点，则与向量共线的单位向量为（ ）
3. 已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
4. 如图，已知的半径为4，若劣弧长为，则劣弧所对圆周角的正弦的平方为（ ）
5. 已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
6. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
7. 设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ）
8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
10. 如图，在三棱柱中，，下列结论中正确的有（ ）
11. 已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为________
13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______．
14. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称.
(1)若在区间上的值域为，求的值；
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.
16. 的内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)证明：．
(2)若，，求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的大小.
18. 已知向量，函数.
(1)若，求的值；
(2)已知是锐角三角形，角所对应的边分别为，且，求的取值范围.
19. 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Jhan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Jhan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：
(2)在中，求的最小值；
(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）
广东省广州三校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、函数与导数、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．或
C．
D．或
A．4
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．8088
B．4044
C．2022
D．1011
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
A．平面平面
B．直线与所成的角的正切值是
C．三棱锥的外接球的表面积是
D．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
12
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
零向量与单位向量；坐标计算向量的模
3
0.94
用定义求向量的数量积
4
0.85
弧长的有关计算；二倍角的余弦公式
5
0.65
数量积的坐标表示
6
0.65
组合体的切接问题；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算
7
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；二倍角的正弦公式
8
0.4
函数奇偶性的应用；函数对称性的应用
二、多选题
9
0.65
求复数的模；复数的乘方
10
0.65
求异面直线所成的角；判断面面是否垂直；球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
11
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；由对数（型）的单调性求参数；根据分段函数的单调性求参数
三、填空题
12
0.65
数量积的运算律；求投影向量；坐标计算向量的模
13
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；三角函数图象的综合应用
14
0.4
余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值；三角形面积公式及其应用；平面向量基本定理的应用
四、解答题
15
0.65
研究对数函数的单调性；由对数函数的单调性解不等式；判断指数函数的单调性；求反函数
16
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
17
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面平行；线面角的向量求法
18
0.4
二倍角的余弦公式；正弦定理边角互化的应用；二倍角的正弦公式；数量积的坐标表示
19
0.65
函数新定义；基本不等式求和的最小值
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,14,19
3
平面向量
2,3,5,12,14,18
4
三角函数与解三角形
4,7,13,14,16,18
5
空间向量与立体几何
6,10,17
6
函数与导数
8,11,13,15,19
7
复数
9