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    北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期月考 数学试卷(含解析)

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    北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期月考 数学试卷(含解析)

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    这是一份北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期月考 数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    数学
    第一部分(选择题共40分)
    一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求.
    1.已知集合,,则集合( )
    A.B.C.D.
    2.下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
    A.B.C.D.
    3.下列命题为真命题的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若,则
    D.若,则
    4.若,则下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    5.已知,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    6.已知函数,则不等式的解集是( )
    A.B.
    C.D.
    7.已知,则下列结论中正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    8.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是,当血氧饱和度低于时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:描述血氧饱和度随给氧时间(单位:时)的变化规律,其中为初始血氧饱和度,为参数.已知,给氧1小时后,血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到,则至少还需要给氧时间(单位:时)为( )(精确到0.1,参考数据:)
    A.0.3B.0.5C.0.7D.1.5
    9.已知函数(且),若存在实数使得函数有三个零点,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    10.已知函数的定义域为,定义集合,在使得的所有中,下列成立的是( )
    A.存在,使得是偶函数
    B.存在,使得在上单调递减
    C.存在,使得在处取极大值
    D.存在,使得的最小值是
    第二部分(非选择题共110分)
    二、填空题:共5小题,每小题5分,共25分.
    11.函数的定义域为 .
    12.已知,,且,则的最小值为 .
    13.设是定义在上的奇函数,当时,,若,则的取值范围是 .
    14.已知函数在区间上存在增区间,则的取值范围是 .
    15.已知函数,给出下列四个结论:
    ①对任意实数,函数总存在零点;
    ②存在实数,使得函数恒大于0;
    ③对任意实数,函数一定存在最小值;
    ④存在实数,使得函数在上始终单调递减.
    其中所有正确结论的序号是 .
    三、解答题:共6个小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
    16.已知,且;,且.
    (1)是否存在实数,使得,,若存在求出实数的值,若不存在,说明理由;
    (2)若是的充分条件,求实数的取值范围.
    17.对下列式子求值:
    (1)
    (2)
    18.《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出:全面实施乡村振兴战略,开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴,推进城乡融合发展,为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念,围绕产业发展生态化,生态建设产业化”思路,某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”,调研发现:某种农作物的单株产量(单位:)与肥料费用(单位:元)满足如下关系:其他总成本为(单位:元),已知这种农作物的市场售价为每5元/,且供不应求,记该单株农作物获得的利润为(单位:元)
    (1)求的函数关系式;
    (2)当投入的肥料费用为多少元时,该农作物单株获得的利润最大?最大利润是多少元?
    19.已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)讨论函数的单调性;
    (3)若,设函数,在上的最大值为2,求的取值范围.
    20.已知函数.
    (1)求函数的极值;
    (2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
    (3)已知直线是曲线在点处的切线,求证:当时,直线与曲线相交于点,其中.
    21.给定正整数,集合.若存在集合,,,同时满足下列三个条件:
    ①,;
    ②集合中的元素都为奇数,集合中的元素都为偶数,所有能被3整除的数都在集合中(集合中还可以包含其它数);
    ③集合,,中各元素之和分别为,,,有;
    则称集合为可分集合.
    (1)已知为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合,,;
    (2)当时,是不是可分集合?判断并说明理由;
    (3)已知为偶数,求证:“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.
    1.A
    【分析】由集合交集运算即可求解
    【详解】,
    所以
    故选:A
    2.D
    【分析】根据单调性与奇偶性的定义判断.
    【详解】函数在上是减函数,没有奇偶性,是偶函数,
    只有既是奇函数,又在上是增函数.
    故选:D
    3.B
    【分析】对于ACD:举反例说明即可;对于B:根据不等式的性质分析判断.
    【详解】对于选项A:例如,满足,
    但,即,故选项A为假命题;
    对于选项B:若,则,
    所以,故选项B为真命题;
    对于选项C:例如,满足,
    但,故选项C为假命题;
    对于选项A:例如,满足,
    但,即,故选项D为假命题.
    故选:B.
    4.C
    【分析】对选项ABC利用指数函数,对数函数,幂函数的单调性比较大小,对选项D:分析值的符号判断大小.
    【详解】对A:因为,所以指数函数在R上为减函数,故,故A错误;
    对B:因为,所以对数函数在0,+∞上为减函数,故,故B错误;
    对C:因为,所以幂函数在0,+∞上为增函数,故,故C正确;
    对C:因为,所以,故,故D错误.
    故选:C
    5.A
    【分析】结合充分条件、必要条件的概念,利用基本不等式及特例法判断即可.
    【详解】若,则,当且仅当时等号成立,
    当时,满足,但是,
    所以“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A
    6.D
    【分析】利用导数判断出的单调性,由此求得不等式的解集.
    【详解】函数的定义域是,

    令解得,
    所以在区间上单调递增,
    在区间上单调递减,
    而,
    故要使,则需或.
    综上所述,不等式的解集为.
    故选:D
    7.B
    【分析】令,根据的单调性得,取满足条件的特殊值排除选项ACD,可证得选项B正确;
    【详解】由得,
    令,即
    因为在R上为增函数,在R上为减函数,故在R上为增函数,所以.
    对A:取,则,故A错误;
    对B:由得,所以,故B正确;
    对C:取,则,故C错误;
    对D:取,则,故D错误;
    故选:B
    8.B
    【分析】根据题意利用指数模型表达式可求得,代入数据计算可得至少还需要给氧时间为0.5小时.
    【详解】设使得血氧饱和度达到正常值,给氧时间至少还需要小时,
    由题意可得,
    两边同时取自然对数并整理,得,

    则,
    则给氧时间至少还需要0.5小时.
    故选:B
    9.A
    【分析】先求得的一个零点为,然后对进行分类讨论,由此来求得的取值范围.
    【详解】,
    当时,单调递增,且零点为.
    当时,令,得,
    若,画出(x∈R)与的图象如下图所示,

    则,
    所以或,
    这两个方程组无解,所以不符合题意.
    若,画出(x∈R)与的图象如下图所示,

    此时,由图可知与有两个交点.
    综上所述,的取值范围是0,1.
    故选:A
    10.D
    【分析】根据集合的定义对选项进行分析,利用排除法、举例法来确定正确答案.
    【详解】依题意,.
    A选项,若是偶函数,则,
    则当,时,不满足,A选项错误.
    B选项,若在上单调递减,则,与题意矛盾,B选项错误.
    C选项,若在处取极大值,则存在,使得在区间上,单调递增,
    与“”矛盾,所以C选项错误.
    D选项,设,画出图象如下图所示,
    由图可知,满足,且是的最小值,所以D选项正确.
    故选:D
    【点睛】方法点睛:解新定义题型的步骤:
    (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
    (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
    (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题.
    11.
    【分析】由题意得到关于的不等式组,解不等式组可得函数的定义域.
    【详解】由题意得,解得,
    所以函数的定义域为.
    故答案为:.
    12.4
    【分析】应用基本不等式即可得出最小值.
    【详解】因为且,
    所以,
    当且仅当,即时取等最小值.
    故答案为:
    13.
    【分析】根据函数解析式判断在上为减函数,利用函数奇偶性判断函数在R上的单调性,最后利用函数奇偶性和单调性化简待求不等式即得参数范围.
    【详解】因时,,可得,在上为减函数,
    又是定义在R上的奇函数,故在R上为减函数.
    故由可得,,
    即得:,解得.
    故的取值范围是.
    故答案为:
    14.
    【分析】由条件可得f'x>0在0,1上有解,分,a>0讨论,列出满足要求的不等式,由此可求的范围.
    【详解】因为函数在区间0,1上存在增区间,
    所以f'x>0在0,1上有解,
    即不等式在0,1上有解,
    当,时,由可得,不满足要求,
    所以,解得,
    所以的取值范围是.
    故答案为:.
    15.①④
    【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点,结合函数图象即可求解①,根据时,当时,,以及时,由于,即可判断②,根据,结合二次函数的性质即可求解③,根据时,对数函数的性质即可判断④.
    【详解】令,则或,令,则,
    且和的图象分别如下所示:
    当时,的零点有和,
    当时,的零点有,故①正确,
    对于②,当时,当时,,不满足题意,
    当时,由于,不满足恒大于0;故不存在实数,使得函数恒大于0,②错误,
    对于③,当时,的图象如下所示:此时不存在最小值;故③错误
    对于④,当,图象如下:函数在上始终单调递减.故④正确
    故答案为:①④
    16.(1)存在,
    (2)
    【分析】(1)化简集合,假设存在实数满足条件,由此可列不等式求;
    (2)结合充分条件定义可得,根据集合包含关系列不等式求的取值范围.
    【详解】(1)解不等式,得或,
    故或
    假设存在,使得,,
    则有且,
    解得,
    所以,当时满足题意;
    (2)若是的充分条件,则,
    则,或
    解得,或,
    所以的取值范围为.
    17.(1)4
    (2)7
    【分析】(1)利用指数幂的运算性质及对数的概念化简求值即可.
    (2)利用对数的运算性质化简求值即可.
    【详解】(1)原式.
    (2)原式.
    18.(1)
    (2)当投入的肥料费用为6元时,该农作物单株获得的利润最大,为42元
    【分析】(1)代入售价和成本即可得到利润结果.
    (2)由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值.
    【详解】(1)解:由题意可得,
    所以函数的关系式为
    (2)当时,的图象为开口向上的抛物线,
    对称轴为,
    所以当时,;
    当时,,
    当且仅当,即时等号成立,此时.
    综上:当投入的肥料费用为6元时,该农作物单株获得的利润最大,为42元.
    19.(1)
    (2)答案见解析
    (3)
    【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率,结合切点即可求得;
    (2)将函数求导后,根据参数的范围分别讨论导函数的正负,即得函数的单调性;
    (3)利用(2)的函数单调性结论,结合给定区间,将参数分类讨论,分别判断函数在0,1上的最大值情况,得到不等式,求解即得.
    【详解】(1),,
    ,又,
    故曲线y=fx在点处的切线方程为;
    (2)函数的定义域为R,
    令,解得,
    ①当时,,在上单调递增,(或单增区间为);
    ②当时,由f'x>0可得,,或,由f'x0;
    当时,,即h'x

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