江苏省江阴市长泾片2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省江阴市长泾片2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A. 此次调查属于普查B. 样本容量是300
C. 1500名学生是总体D. 被抽取的每一名学生称为个体
【答案】B
【解析】A．以上调查属于抽样调查，原说法错误，故A不符合题意；
B．样本容量300，说法正确，故B符合题意；
C．1500名学生的视力情况是总体，原说法错误，故C不符合题意；
D．每名学生的视力情况是一个个体，原说法错误，故D不符合题意；
故选：B．
3. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 0B. 2C. ±2D. ﹣2
【答案】B
【解析】由题意得，，
解得：x＝2．
故选：B．
4. 下列各式中，化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，该项化简不正确；
B．，该项化简不正确；
C．，该项化简不正确；
D．，该项化简正确；
故选：D．
5. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 方程有增根，则的值是（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】，
方程两边都乘，得，，
∴，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，即增根是，
∴，
∴．
故选：A．
8. 下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
9. 如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点A向点运动过程中，的长度（ ）
A. 逐渐增加B. 先减小再增加
C. 恒等于9D. 恒等于6
【答案】D
【解析】连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴，
∵，∴．
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为4，点在延长线上，，作交延长线于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，在上截取，连接．
∵，
∴
∴．
∴，
即．
又，∴．
∵，
∴．
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，∴，
故选：A．
二、填空题
11. 使分式有意义的的取值范围是________．
【答案】
【解析】依题意，，
故答案为：．
12 如图，中，，则_______．
【答案】
【解析】在中，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 分式，的最简公分母是_________．
【答案】
【解析】分式，的最简公分母为，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为______．
【答案】1
【解析】∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
15. 如图，菱形的边长是，对角线的长是．且，则的长为_____．
【答案】
【解析】连接，交于点O，如图所示：
∵菱形的边长是，对角线的长是，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
即：，
∴．
故答案为：．
16. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点A落在点处，折痕交于点．若，则______．
【答案】5
【解析】∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点A落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
如图所示，取中点H，连接，
则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合，
∴是的中位线，
∴，
同理可得是的中位线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：5．
17. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有________．
【答案】①②④
【解析】如图，作于M，于N，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形，故②正确；
∴，
∴
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵是正方形对角线，
∴，，
∴是定值，故③错误；
∵，
∴，
∴是定值．故④正确；
故答案为：①②④．
18. 如图所示，已知锐角△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，△ABC的面积为15，D，E，F分别为AB，BC，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图，作点F关于AB、BC的对称点F'，F''，连接BF'、BF''，
∴FD=F'D，EF=EF''，∠ABF=∠ABF'，∠CBF=∠CBF''，
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=DE+DF'+DF''，
∴当F'、D、E、F''四点共线时，
△DEF的周长为DE+DF+EF=F'F''，
∵∠ABC=45°，
∴∠F'BF''=90°，
且BF=BF'=BF''，
∴△BF'F''是等腰直角三角形，
∴F'F''=BF'=BF''，
∴当BF最小时，F'F''最小，即△DEF周长最小，
∴当BF⊥AC时，BF最小，
∵△ABC的面积为15，
∴×5BF=15，
∴BF=6，
∴F'F''=BF=，
故答案为：．
三、解答题
19 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=
=
=
=，
当时，
原式=．
21. 已知关于x的分式方程．
（1）当时，求方程的解．
（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
解：（1）当时，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2），
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，
即：且．
22. 随着《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的稳步落实，劳动课已成为各中小学不可缺少的独立课程之一．某学校计划在七年级开设“厨艺”，“种植”，“布艺”，“制陶”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 名；
（2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（3）“制陶”课程所对应的扇形圆心角的度数是 ；
（4）若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“种植”课程的学生有多少名？
解：（1）参加问卷调查的学生人数为：（名），
故答案为：50；
（2）“布艺”的人数为：（名），
补全统计图如下：
（3）“制陶”课程所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：；
（4）根据题意得：（名），
答：估计选择“种植”课程的学生有100名．
23. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
24. 某公司计划购进A、B两种产品．已知每件A产品的进价比B产品的进价少500元，且用8400元购进的A产品数量与用14400元购进的B产品数量相同．
（1）求每件A产品和B产品的进价；
（2）若该公司计划购进A、B两种产品共60件，且购进的A产品数量不超过B产品数量的2倍，求该公司至少需要多少元的预算经费？
解：（1）设每件A商品的进货价格为元，每件B商品的进货价格为元，
由题意可得，，
，
，
经检验得，是原方程得解，
∴，
答：A商品的进货价格为每件700元，B商品的进货价格为每件1200元；
（2）设购进A商品为件，购进A商品为件，
，
解得：．
∴该公司需要的预算经费，
∴当时，该公司需要的预算经费最少，最少预算经费元．
答：该公司至少需要52000元的预算经费．
25. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；
①；②③④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
解：（1）①，是和谐分式；②是整式，③，是和谐分式，
④，是和谐分式．
故答案为：①③④；
（2）
，
故答案为：，；
（3）
，
当时，是整数；
即当时，是整数；
∵分母不能为0，
∴，
故只有当时，分式的值为整数，
∴当时，分式运算的结果是整数．
26. 如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点A运动到点的过程中，若边与边交于点，
（1）如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长；
（2）运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由；
（3）求点相应运动的路径长．
解：（1）如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的面积有最小值2，此时．
如图2，，
当，即时，，
取得最小值2，
此时，，
∴四边形是矩形，
∴；
（3）如图3，当点与A重合时，
由折叠得，
∵
∴
∴
∴，
设，
则，
在中，则有，
解得，
∴，
如图4中，当点运动到时，的值最大，
，
如图5中，当点运动到点落在时，（即），
∴点的运动轨迹，
运动路径．