2023-2024学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在中，，斜边上的中线，则斜边长为
( )
A. B. C. D.
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是
( )
A. B. C. D.
4.如图，，则有
( )
A. 垂直平分B. 垂直平分
C. 与互相垂直平分D. 平分
5.如图，兔子的三个洞口、、构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )
A. 三条中线的交点B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三个角的角平分线的交点
6.下列不能判定是直角三角形的是
( )
A. B.
C. ：D.
7.下列命题不正确的是
A. 等腰三角形的底角不能是钝角
B. 等腰三角形不能是直角三角形
C. 若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D. 两个全等的且有一个锐角为的直角三角形可以拼成一个等边三角形
8.如图，在中，垂直平分，垂足为，交于点若，，则的周长为
( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，则与的关系是( )
A. B.
C. D.
10.已知：如图，在中，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下结论：；；；；；其中结论正确的个数是
( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．
12.如图，，若，则的长为 ．
13.已知在中，，则的周长是 ．
14.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，，两点落在，点处，若，则的度数是 ．
15.如图，在中，平分若则 ．
16.如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则 ．
17.如图，中，，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处， ．
18.如图，在中，点，分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，和相交于点，，求证．
20.本小题分
方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
在图中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．
图中格点的面积为 ．
21.本小题分
学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端米处，发现此时绳子底端距离打结处约米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．
22.本小题分
年月日，苏州市市生活垃圾管理条例正式发布，这标志着苏州市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼，到智能垃圾分类投放点的距离相等；点到两条道路的距离相等．请在图中利用尺规作图保留作图痕迹，不写作法，确定点的位置；
23.本小题分
如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
求证：；
若，求的度数．
24.本小题分
如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为连接．
当时，则 ；
当为以为腰的等腰三角形时，求的值；
过点作于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？
25.本小题分
若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”如图，与互为“底余等腰三角形”．
若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”，并说明理由．
当时，若的“余高”，则 ；
当时，判断与之间的数量关系，并说明理由．
26.本小题分
用四个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
结合图，求证：；
如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形若该图形的周长为，求该图形的面积；
如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，， ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可求解．
、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、是轴对称图形，故选项合题意；
故选：．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
解：，，
，
故选C．
3.【答案】
解：由图可知，，
在和中，
≌，
，
即即是的平分线．
故选：．
由三边相等得≌，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
4.【答案】
【解析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分．
，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分．
故选：．
此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
解：兔子的三个洞口、、构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，
设猎狗在点，则，
点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
猎狗应蹲守在在三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
解：由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意；
C.，所以最大，，故不是直角三角形，符合题意；
D.，，故是直角三角形，不符合题意．
故选：．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.【答案】
【解析】根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定方法依次分析各项即可
解：、、、均正确，不符合题意；
B、等腰直角三角形就是直角三角形，故错误，本选项符合题意．
等腰三角形的性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注．
8.【答案】
【解析】本题主要考查垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”根据垂直平分线的性质得到，结合三角形周长即可得到答案．
解：垂直平分，
，
，，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用，根据“等边对等角”可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出和，是解决问题的关键．
解：，，
，，
，，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】由，利用等式的性质得到夹角相等，证明，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；由同底不等高可得两个三角形面积不相等；求得，可得结论正确．
解：，
，即，
在和中，
，
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，本选项正确；

，
，
，
则，本选项正确；
，
，故此选项正确，
过作于，
由图可得不一定等于，
不一定等于，
不一定等于，本选项错误；

，
，
，本选项正确；
故选：．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定方法有：．
11.【答案】
【解析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．
解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是，
故答案为：．
此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．
12.【答案】
【解析】根据全等三角形的性质得出，再代入求出答案即可．
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13.【答案】
【解析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．
解：，
是等边三角形，
，
的周长为：，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】根据折叠得到，结合，得到，根据平行线的性质求解即可得到答案；
解：一张长方形的纸按图那样折叠后，，两点落在，点处，
，，
，
，
故答案为：；
15.【答案】
【解析】作于点，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
解：如图，作于点，
平分，，，
，
．
故答案为：．
本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形中边上的高是解题的关键．
16.【答案】
【解析】先分别算出、、的面积，然后根据勾股定理即可解答．
解：，，
．
，，
故答案为．
本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
17.【答案】或
【解析】分两种情况：当点在点左边时；当点在点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
解：当点在点左边时，如图，
由折叠性质得，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
即；
当点在点右边时，如图，
由折叠知，，
，
设，则，，
，
，
解得，，
即；
综上，或．
故答案为：或．
本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
过点作，并使得连接，
则，
，
在中，，
，
，
，
，
，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
19.【答案】解：，
，
在和中，
，
．

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由得，再利用即可证明，即可得出结论．
20.【答案】【小题】
解：法一：如图，点即为所求；

法二：如图，点即为所求；

【小题】

【解析】
根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，使以、、、为顶点的四边形是以为对称轴的轴对称图形，如图；根据在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等，确定点如图；

利用割补法求面积，即将补成一个矩形，然后减去三角形的面积，计算求解即可．
解：如图，

，
故答案为：．
本题考查了根据轴对称的性质作图，割补法求面积．解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质，以及确定割补法求面积的运算方法．
21.【答案】设旗杆长为米，则绳长为米，则由勾股定理可得：
，
解得，
答：旗杆的高度为米．

【解析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．
22.【答案】解：由题意得，点是线段的垂直平分线与的平分线的交点，
如图，点即为所求．


【解析】本题考查了作图，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
23.【答案】【小题】
证明：为的角平分线，
，
由作图可得，
在和中，
；
【小题】
，为的角平分线，
由作图可得，
，
，为的角平分线，
，

【解析】
根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；

根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24.【答案】【小题】
【小题】
分，两种情况进行讨论求解即可；
当时，如图

，
；

若，则，
在直角三角形中，，
解得：；
综上所述：的值或；
【小题】
分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况，进行求解即可．
，
，

若在点的左侧，则，
．
又，，且，
，
，
，
则，
解得：；

若在点的右侧，则，
，
同理可得：，
，
，
解得，
综上所述：或．

【解析】
利用勾股定理进行求解即可．
当时，如图：
由题意，得：，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，即：，
解得：，
；
故答案为：．
见答案

本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
25.【答案】【小题】
与互为“底余等腰三角形”，理由如下：
如图，连接、，

，
，，，，
，，
，
，
，
，
与互为“底余等腰三角形”．
【小题】
【小题】
，
理由：如图，作于点，

，
，
，，
，
在和中，
，
，
．

【解析】
连接、，由，得，，，，即可由，推导出，则，所以，则与互为“底余等腰三角形”，于是得到问题的答案．

当时，则和都是等腰直角三角形，先证明，再证明，则，于是得到问题的答案；
如图，，，

，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
故答案为：

作于点，由，得，再证明，得，则．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】【小题】
用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
证明：，
，
即，
；
【小题】
设，则，在中，由勾股定理列出方程即可求出的长，从而解决问题；
解：，
设，则，．
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，
，
；
【小题】

【解析】 见答案
见答案

设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为，则，，，根据，即可得出．
解：设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键．