(新高考)高考数学三轮冲刺大题优练1《解三角形》(2份打包，解析版+原卷版)

例1．的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知及正弦定理，得，

∴，

∵，∴，∴．

又∵，∴．

∵，∴．

（2）由已知及余弦定理，得，

，

化简，得．

又∵，∴，

∴的面积．

例2．设函数．

（1）求的最小正周期和值域；

（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､．若，，求

周长的取值范围．

【答案】（1），值域为；（2）．

【解析】（1）

，

，值域为．

（2）由，可得，

因为三角形为锐角，所以，即，，

由正弦定理，得，，

所以

，

因为为锐角三角形，所以，，

即，解得，

所以，，

即，

所以周长的取值范围为．

例3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，，且．

（1）求角；

（2）若，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）最大值为．

【解析】（1）因为，所以，

由，得，，，

所以，

所以，即，

又因为，，

所以，．

（2）因为，且，，

又因为，(当且仅当时等号成立)，

所以，

即的面积的最大值为．

例4．已知中，．

（1）求证：是钝角；

（2）若同时满足下列四个条件中的三个：

①；②；③；④．

请指出这三个条件，说明理由，并求出的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）只有满足①②③时，．

【解析】（1）因为，由正弦定理可得，

在三角形中，，且，

所以不等式整理为，

即，

在三角形中可得，所以，所以得证为钝角．

（2）（i）若满足①②③，则正弦定理可得，

即，所以，

又，所以，

在三角形中，，所以或，

而由（1）可得，所以可得，，

所以．

（ii）若满足①②④，由（1）为钝角，，为锐角，

及，可得，，

所以不符合为钝角，故这种情况不成立．

（iii）若满足②③④，由为钝角，，

所以，而，所以，这时，

不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立．

综上所述：只有满足①②③时，．

1．的内角，，的对边分别为，，．已知．

（1）记边上的高为，求；

（2）若，，求．

【答案】（1）2；（2）或2．

【解析】（1），

由正弦定理可得，

化为，

∴，

∵，∴．

（2）由（1）有，∴，即．

由余弦定理可得，

∴，可得，

∴，

化为，解得或4，

解得或2．

2．如图，在中，，，点在边上，，为锐角．

（1）若，求线段的长度；

（2）若，求的值．

【答案】（1）7；（2）．

【解析】（1）在中，由余弦定理得，

∴或．

当时，，则，不合题意，舍去；

当时，，则，符合题意，

∴．

在中，，

∴或（舍），

∴．

（2）记，则．

在中，，∴为锐角，

得，，

即，．

法一：，同理．

由，知，

∴．

法二：，，

∴．

3．在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．

（1）求角的大小；

（2）若的平分线交于点，的面积为，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，，∴，

即，得，

又，∴，可知，解得．

（2）设，由是的平分线，有，

在中，由正弦定理得，所以．

又的面积为，所以，

∴，即．

4．已知的三个内角，，的对边分别是，，，且．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）6．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得，

所以，

因为，所以，，所以，所以．

（2）因为的面积为，所以，

因为，所以，所以．

由余弦定理得，

因为，，

所以，所以．

5．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由正弦定理，得，，，

又，所以．

由余弦定理，得，故．

又，所以．

（2）由余弦定理，得．

联立方程组，得，化简得，解得，

所以的面积．

6．的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，

∵，所以，

由正弦定理可得，则，

由余弦定理可得．

（2）由，得，

∵，∴，

由，得，

∴，当且仅当时，等号成立．

又，当且仅当时，等号成立．

∴，当且仅当时，等号成立．

即的最小值为．

7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）4．

【解析】（1）由正弦定理得，

则，

，则，于是，

又，故．

（2）根据余弦定理，

则，

即，当且仅当时等号成立．

所以的最大值为4．

8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若是锐角三角形，且的面积为，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由正弦定理以及，得，

即，

在中，由余弦定理得，

又，所以．

（2）因为是锐角三角形，所以，所以．

因为，所以．

由正弦定理得，

所以．

因为，所以，所以，所以，

所以，所以．

9．已知同时满足下列四个条件中的三个：

①；②；③；④．

（1）请指出这三个条件，并说明理由；

（2）求的面积．

【答案】（1）同时满足①，③，④．理由见解析；（2）．

【解析】（1）同时满足①，③，④．理由如下：

若同时满足①，②．

因为，且，所以，

所以，矛盾．

所以只能同时满足③，④．

所以，所以，故不满足②．

故满足①，③，④．

（2）因为，所以，

解得，或（舍），

所以的面积．

10．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．

（1）求角B；

（2）若 ，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），即．

∵，∴，

又，∴．

（2）由，可得，，

∵，，∴，

∴ (其中)，

∵，∴的最大值为．