综合备战2025年高考数学-解三角形专题复习（新高考通用）

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正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
三角形中三个内角的关系
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
射影定理
，，
角平分线定理
在中，为的角平分线，则有
张角定理
三角形的面积公式
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
1．（2024·福建厦门·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，且的周长为，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有，再由三角形内角性质即可求边长；
（2）应用余弦定理及已知得且，进而求得，最后应用面积公式求面积.
【详解】（1）由题设，由正弦定理有，
所以，而，故，又，
所以.
（2）由（1）及已知，有，可得，
又，即，
所以，故.
2．（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1），且，
所以；
（2）根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
3．（2024·浙江温州·二模）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角.
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）
由 得，而为三角形内角，
故sinB>0,得，而为三角形内角，或
（2）
由得，
又，∴， ，故 ，
由（1）得，故，
∴，而为三角形内角， ∴.
又即，
又，而为三角形内角，故，
.
4．（2024·江苏·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；
（2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得
【详解】（1）
因为
或（舍），.
（2）由，结合（1）知，则，得
，
，
，
由正弦定理得
的周长为.
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在中，三边所对的角分别为，已知．
(1)求；
(2)若外接圆的直径为4，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为．
所以，
又，则，因为，所以．
（2）由正弦定理，，则，
由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面积．
6．（2024·浙江·一模）在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；
（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因为边的中点为，所以，
所以
7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
8．（2024·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为，.
(1)求的值；
(2)若，点是的中点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得；
（2）根据同角三角函数关系求出，再利用余弦定理求出值，最后利用三角形面积公式即可.
【详解】（1）
由正弦定理得：，
，则，，
不等于0，.
（2），，所以，
联立，，
在中，由余弦定理得：①
在中，由余弦定理得：②
由①②式得：
故，
.
9．（2024·江苏·一模）在中，．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得．若，求的大小．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小；
（2）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小.
【详解】（1）在中，，所以．
因为，所以，
即
化简得．
因为，所以，．
因为，所以．
（2）法1：设，，则．
由（1）知，又，所以在中，．
在中，由正弦定理得，即①．
在中，由正弦定理得，即②．
①÷②，得，即，所以．
因为，，所以或，故或．
法2：设，则，．
因为，所以，因此，
所以，．
在中，由正弦定理得，即，
化简得．
因为，所以或，，
故或．
10．（2024·河北·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形中，代入已知化简得出，即可计算得出答案；
（2）若选①：由余弦定理结合（1）与已知得出，再由①角化边得出，两式联立解出与，即可得出答案；
若选②：由②结合余弦定理得出，即可结合已知与（1）化解得出的值，再由余弦定理求出的值，即可得出答案.
【详解】（1）在中，，
，
，
，
则，
化简得.
在中，，
.
又，
.
（2）由余弦定理，得，即.
若选①，
，即，且，
，，
此时的周长为.
若选②，
，
，即，
又，
，
此时的周长为．
11．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.
(1)求A；
(2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）根据题意可得，
由正弦定理得，
又，
故，
又，所以，则，
因为，所以.
（2）因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得（负值舍去），
故的周长为.
12．（2024·辽宁大连·一模）在中,
(1)求点到边的距离:
(2)设为边上一点，当取得最小值时，求外接圆的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，再由面积相等可得结果；
（2）求出的表达式并利用二次函数性质求得时，，由正弦定理求出外接圆的半径可得结论.
【详解】（1）设的内角所对的边为，即；
由余弦定理可得，解得；
又的面积；
设点到边的距离为，
因此，
解得.
点到边的距离为.
（2）如下图所示：

在中，由余弦定理可得；
所以，
又，所以，且；
因此；
易知当时，；
由可得为正三角形，所以；
设外接圆的半径为，
在中由正弦定理可得，解得；
所以外接圆的面积为.
13．（2024·广东·一模）设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若点在上（与不重合），且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用即可求出结果；
（2）根据题设得到，进而可求得，，再利用，即可求出结果.
【详解】（1）由，得到，
又，
所以，又三角形为锐角三角形，所以，
得到，即.
（2）因为，又，所以，则，所以，
由（1）知，，则，，
则，
又，所以.

14．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．
(1)求角的大小；
(2)如图，为外一点，，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，可得，
整理可得，
又因为，
化简可得，
而，则，又，则
（2）在中，由可得，
在中，由可得，
所以，
设，
由余弦定理，
，
可得，，
因此，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最大值为，此时.
15．（2024·广东广州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求的周长.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果；
（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长.
【详解】（1）由，则，
又，故.
（2）由（1）可知，，又，则；
由题可知，，
故，
所以，
因为，所以，，
在中，，
故的周长为.
16．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范围为.
17．（2024·广东佛山·二模）在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，再利用三角恒等变换得到，从而利用余弦定理列出关系式即可得解.
（2）在中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的关系求.
【详解】（1）如图，在中，由正弦定理知，
所以，所以，
因为，所以，则①，
由，
则，
因为，所以，则，
在中，由余弦定理知，则②，
由①②得，．
（2）因为，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，
因为，所以，
则，
由（1）知，，所以，
在中，由余弦定理知
，
所以．
18．（2024·湖南长沙·一模）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)证明：；
(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？
【答案】(1)证明见解析
(2)为定值.
【分析】
（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证；
（2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得，从而得解.
【详解】（1）
因为，
由正弦定理可得，
再由余弦定得得，整理得.
（2）
因为互补，所以，
结合余弦定理可得，
因为，，则，
整理得，又，
则，
从而，故为定值.
19．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以由正弦定理得，整理得．
则，因为，所以，
因为，所以，因为，
所以，所以是锐角三角形．
（2）因为，所以，
所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，
所以的面积为．
20．（2024·湖北武汉·二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为2．
(1)求角；
(2)求边的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦边角关系，和角正弦公式及三角形内角和性质，即可求角；
（2）由题设，应用数量积的运算律、基本不等式求得，再应用余弦定理求边的最小值．
【详解】（1）因为，所以，
则，故，
因为，，，所以，又，所以．
（2）因为边的中线长为2，所以，两侧平方可得，
即，解得，当且仅当时取等号．
所以，可得，
所以的最小值为．
21．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，D为的中点.
(1)求A；
(2)当时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1）
，
，
即，
，即.
或，
当时，，
由，有，即时.
当时，（舍）.
.
（2）
设，，
由（1）及余弦定理有，即.
，即，当且仅当时等号成立.
由D为边的中点有，
，
当且仅当时等号成立.
，当且仅当时等号成立.
的最大值为.
22．（2024·湖北·一模）在中，已知．
(1)求的大小；
(2)若，求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）
在中，由正弦定理可得：
，即，解得，
又，故或．
（2）
由，可得，故.
,
令,解得.
由于，取，得；取，得；取，得，
故在上的单调递增区间为．
23．（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）
，
令，，
得，，，
所以的单调递增区间为；
（2）
由（1）知，，
又，∴，所以，，
由正弦定理及，得，，
∴，整理得，，
又，∴，所以角B的大小为.
24．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
25．（2024·山东枣庄·一模）在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若是边上的高，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值.
（2）以为基底，由，代入数据运算得的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值.
【详解】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
得，由倍角公式得．
又因为为的内角，所以．
所以，，
则有，得．
（2）方法一 ：，，，
所以，
由题意知，所以，
即．
所以，所以．
方法二 ：中，由余弦定理得，
所以．
又因为，
所以．
所以，．
所以．
由平面向量基本定理知，，

所以．
26．（2024·山东聊城·一模）在梯形中，，设，，已知.
(1)求；
(2)若，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得，结合图形可得，即可得；
（2）借助正弦定理与余弦定理计算即可得.
【详解】（1），
即，
即，
即，即，
又，故，即，
又，故；
（2）由，故，
由正弦定理可得，
即，
故，则，
由余弦定理可得，
即，故.

27．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；
（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.
在中，，则，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）设，.
又，所以.
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为.
28．（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）易知两角互补正弦值相等，再由正弦定理可得；
（2）分别在和中，由余弦定理得，即可得.
【详解】（1）由，可得，如图所示：

在中，由正弦定理得，
所以
在中，由正弦定理得，
所以
故
因为为的中点，
所以，即，
（2）由（1）不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得.
所以.
解得.
故
29．（2024·浙江温州·一模）设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，求的最小值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)0
【分析】
（1）首先应用余弦定理得，
然后方法1：使用均值不等式求解的最小值；
方法2：利用已知条件，将转化成关于的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为，得：，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值；
方法2：将，代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值；
【详解】（1）由余弦定理知，
方法1：
所以，当时取等，此时为正三角形.
故的最小值为.
方法2：
所以，当时取等.
故的最小值为.
（2）
方法1：因为.
所以原式
方法2：因为，
原式
综上所述：.
30．（2024·河北沧州·一模）已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，．
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断为锐角三角形；
（2）作垂直于，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面积的最大值.
【详解】（1）
由余弦定理可得，
化简为，解得或，
当时，因为，与为锐角三角形不符合，故.
（2）作垂直于，设，
则，当，四边形面积最大，最大面积为.