备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍立体几何小题(六大题型)(学生版+解析)练习

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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】表面积与体积的计算
【题型二】最短路径问题
【题型三】立体几何新定义
【题型四】截面问题
【题型五】交线与轨迹问题
【题型六】“球”的切接问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：动点导致的体积，角度变化

：立体几何小题几乎年年考。
通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题，动点问题形式考察
：
1.锻炼自己的空间想象能力
2.熟悉各种解题模型
3.会对多面体的各个截面讨论
【题型一】表面积与体积的计算
【例1】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ）
A．B．C．D．
【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4B．母线与底面所成角为
C．侧面积为D．体积为
【题型二】最短路径问题
【例1】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【例2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0B．C．D．
【变式1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】立体几何新定义
【例1】从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
【变式1】给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么?描述一下.
【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【题型四】截面问题
【例1】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形C．正方形D．菱形
【例2】已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【题型五】交线与轨迹问题
【例1】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2B．C．D．1
【例2】在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【题型六】“球”的切接问题
【例1】已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．384B．1152C．D．
易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化
解题技巧：1.对各个题型进行总结。
2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
例1.（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若是棱的中点，则点到平面的距离为
D．若与平面所成的角为，则
变式1．（多选）在长方体中，已知，点P是线段上的动点．则下列说法正确对的是（ ）
A．若，则
B．若，则点P到平面的距离是
C．若，则直线AP与直线所成角的范围是
D．若，分别经过且平分三棱锥体积的截面面积依次为，则
变式2．（多选）若正方体的棱长为1，为棱的中点，点满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．至少存在一个点，使平面
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点轨迹的长度为
创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.