备战高二数学下学期期中（北师大）专题02 高二下学期期中真题精选（第一章数列+第二章导数及其应用）（考题预测）（原卷版）

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题型一 数列求和之分组求和（分类讨论）（难点）
题型二 数列求和之裂项相加法（重点）
题型三 数列不等式中的恒（能）成立问题（重点）
题型四 数学新定义题（难点）
题型五 构造函数解决不等式问题
题型六 构造函数比较大小（难点）
题型七 利用导数研究函数的恒（能）成立问题（难点）
题型八 利用导数研究函数的零点方程的根（难点）
压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共2小题）
1．（23-24高三上·江西·期中）已知数列中，，.
(1)判断是否为等比数列？并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（22-23高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前n项和为，若，．
(1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
(2)记，的前n项和为，求．
压轴二：数列求和之裂项相加法（共5小题）
1．（24-25高三上·天津·期中）设是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列.已知.
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，
（i）求；
（ii）证明
2．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，数列满足：．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
3．（24-25高三上·天津·期中）记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)求证：对于且，．
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列和等比数列，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为；
(3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对于任意的时，恒成立，求实数的取值范围．
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，数列的前项和为，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·河北·期中）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.
(1)求的值，并求出的和公比；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项为1，前n项和为，且对任意的，均有.
(1)当时，证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，均为整数，若使得对一切恒成立的的所有可能取值有9个，求T的值.
3．（24-25高三上·辽宁·期中）设正整数，的最大公约数为，已知正整数
(1)求和
(2)数列是严格单调递增正整数数列，证明：；
(3)设是所有不同约数从小到大的排列，是否存在，使得对于任意正整数均成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请你说明理由.
4．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
5．（22-23高二下·湖北武汉·期中）已知正项数列的前n项和为，对任意，点都在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
压轴四：数学新定义题（共5小题）
1．（24-25高三上·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质.
(1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）
①；
②.
(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；
(3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式.
2．（24-25高三上·北京朝阳·期中）若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.
(1)判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
(2)已知数列A：，，，…，是T数列.
（i）证明：对任意的，与不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求的最大值.
3．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知有穷数列A：，，…，，满足（），若存在一个正整数k（），使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0.因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
(1)判断数列A：1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且，求数列A的最后一项的值.
4．（23-24高二下·北京·期中）给定正整数，若项数为的正实数数列满足：，且，称数列为“数列”．如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“数列”．
(1)判断数列：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；
(2)正数数列满足：．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；
(3)若任意的项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
5．（23-24高二上·北京东城·期末）已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
压轴五：构造函数解决不等式问题（共5小题）
1．（22-23高二下·北京·期中）已知e为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知函数 的定义域为 ，设 的导函数是 ，且恒成立， 则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递减D．当时，
4．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
压轴六：构造函数比较大小（共5小题）
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，，，那么的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·四川自贡·一模）若，则满足的大小关系式是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·江苏南通·期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
压轴七：利用导数研究函数的恒（能）成立问题（共8小题）
1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）则实数a的值为 ；
（2）设，若对任意的恒成立，则k的最大整数值为 ．
3．（24-25高三上·北京西城·期中）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数是单调递增函数，求的取值范围；
(3)当时，是否存在三个实数且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
4．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极值；
(3)若对于恒成立，求的最大值.
5．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
6．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；
(3)若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.
7．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数.
(1)若，请直接写出函数的零点的个数；
(2)若，求证：函数存在极小值；
(3)若对任意的实数,恒成立，求实数的取值范围.
8．（22-23高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若存在，，使得，求的取值范围．
压轴八：利用导数研究函数的零点方程的根（共8小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）
A．①④B．②④C．①②③D．①②④
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，给出下列四个结论：
①函数存在两个不同的零点
②函数只有极大值没有极小值
③当时，方程有且只有两个实根
④若时，，则的最小值为2
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②有且仅有两个零点；
③对于任意的，都有成立；
④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.
其中所有正确的结论序号是
4．（24-25高三上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)当有且仅有一个零点时，请直接写出的取值范围.
5．（23-24高二上·北京·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的定义域及单调区间；
(3)求函数的零点的个数．
6．（22-23高二下·北京东城·期中）已知函数．
(1)设；
①求单调区间；
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
7．（24-25高三上·北京通州·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：当，曲线的切线不经过点；
(3)当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
8．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.
压轴九：利用导数研究双变量问题（共3小题）
1．（22-23高三上·江苏常州·期中）已知函数，，．
(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．
2．（21-22高二下·河北唐山·期中）已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有2个不等的实根，，证明：．
3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．