备战高二数学下学期期中（北师大）专题04 第二章 导数在研究函数中的作用（考点梳理）（原卷版）

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清单01 由函数单调性求参数取值范围
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
清单02 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
清单03 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
清单04 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
清单05 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（）
【例1】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 .
【变式1-1】.（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.（24-25高二下·湖南常德·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ．
【变式1-4】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）函数的单调递增区间为 .
【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（）
【例2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】.（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【变式2-2】.（24-25高三上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】.（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 .
【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（）
【例3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】.（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【变式3-3】.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（）
【例4】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
【变式4-1】.（多选）（24-25高二下·广东江门·阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是 .
【变式4-3】.（23-24高二下·山西运城··阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 ．
【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（）
【例5】（24-25高三上·江西·期中）设函数.
(1)求的单调区间;
【变式5-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，其中为常数.
(1)讨论的单调性；
【变式5-2】.（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数.
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
【变式5-3】.（23-24高二下·江西九江·期末）已知函数.
(1)试讨论的单调性；
【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（）
【例6】（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)若，当时，证明：；
(2)若，讨论的单调性.
【变式6-2】.（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论当时函数的单调性；
【变式6-3】.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【变式6-4】.（23-24高二下·江西萍乡·阶段练习）已知函数.
(1)证明:，有；
(2)设，讨论的单调性.
【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（）
【例7】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【变式7-1】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程;
(2)若，讨论的单调性.
【变式7-2】.（23-24高三上·江西赣州·期中）已知函数.
(1)试讨论的单调区间；
【变式7-3】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数，.
(1)若，讨论函数的单调性；
【变式7-4】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论函数的单调性；
【考点题型八】根据图象判断函数极值，最值（）
【例8】（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极大值点
D．是函数的极大值点
【变式8-1】.（23-24高二下·广东汕头·期中）函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上不单调
D．在处的切线的斜率大于0
【变式8-2】.（多选）（23-24高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
【变式8-3】.（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ）

A．在上单调递减B．在处取得极大值
C．在上单调递减D．在处取得最小值
【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（）
【例9】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象过点，且.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
【变式9-1】.（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 .
【变式9-2】.（广东省广雅中学等校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题）函数在上的最大值为
【变式9-3】.（24-25高二下·山西吕梁·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【变式9-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值．
【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（）
【例10】（2025·江西·一模）已知是函数的极值点，则（ ）
A．8B．4C．D．
【变式10-1】.（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】.（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知m为常数，函数有两个极值点，则m的取值范围是 .
【变式10-3】.（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ．
【变式10-4】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若为的极大值点，求实数的取值范围．
【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（）
【例11】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值.
【变式11-1】.（23-24高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
【变式11-2】.（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，求函数在区间的最小值.
【变式11-3】.（23-24高二下·广东潮州·阶段练习）已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.
【变式11-4】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．
【考点题型十二】根据函数的最值求参数（）
【例12】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式12-1】.（河北省承德市NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题）已知函数，.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数有最大值，且最大值为，求a的值.
【变式12-2】.（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在上的最小值是，求的值.
【变式12-3】.（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线的斜率为，求此切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)若在上的最小值为，求实数的值.
【变式12-4】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围.
提升训练
一、单选题
1．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．当时，取得极小值D．当时，取得极小值
6．（24-25高二下·天津·阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）

A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
7．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．0
二、多选题
9．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．在上的最大值为
三、填空题
11．（24-25高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，若的单调减区间为，则实数 ．
12．（24-25高二下·上海·阶段练习）函数在处有极值，则该函数的单调减区间是 ．
四、解答题
13．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若0为的极大值点，且极小值为，求；
(3)若的导函数只有一个极值点，求的取值范围．
14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求b；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在上单调递减，求a的取值范围．
15．（2025·黑龙江·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．