备战高一数学下学期期中（北师大）专题02 高一下学期期中真题精选（考题预测）（原卷版）

这是一份备战高一数学下学期期中（北师大）专题02 高一下学期期中真题精选（考题预测）（原卷版），共18页。试卷主要包含了正余弦定理与三角函数性质结合等内容，欢迎下载使用。

压轴一 三角函数中的零点问题
压轴二 三角函数中的恒（能）成立问题（重点）
压轴三 三角函数中的新定义问题（难点）
压轴四 平面向量基本定理
压轴五 向量的数量积（含最值与范围问题）（重点）
压轴六 向量的模（含最值与范围问题）
压轴七 平面向量中的新定义题（难点）
压轴八 三角形周长（边长代数和）问题（最值与范围问题）（高频）
压轴九 三角形面积问题（最值与范围问题）（高频）
压轴十 正余弦定理与三角函数性质结合 （重点）
压轴一：三角函数中的零点问题（共5小题）
1．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知向量，函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的单调减区间；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
4．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2.
(1)求和a的值；
(2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值.
5．（24-25高二上·云南玉溪·期中）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
压轴二：三角函数中的恒（能）成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
3．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）已知函数.
(1)当时，求的最值；
(2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)当时，设，求证：函数有且只有一个零点；
(3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值.
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值．
压轴三：三角函数中的新定义问题（共5小题）
1．（24-25高三上·北京西城·期中）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.
给出下列命题：
①“函数”的充要条件是“，关于的方程都有实数解”；
②“函数”的充要条件是“既有最大值，也有最小值”；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数，的定义域相同，且，，则.
其中，正确命题的序号是 .
2．（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
3．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质，
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
(3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由.
4．（23-24高一下·广东东莞·期中）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域．
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增．已知．请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，②，使得．
那么，我们称是二元函数的最小值．求
的最大值．
5．（23-24高一下·上海·期中）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值；
(3)已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
压轴四：平面向量基本定理（共4小题）
1．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．

(1)当时，用向量表示，；
(2)证明：为定值．
2．（22-23高一下·山东·期中）在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．

(1)若，求实数；
(2)试用表示；
(3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置．
3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点．
(1)用表示；
(2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围．
4．（22-23高一下·安徽滁州·期中）如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且，，设，．
(1)用向量，表示；
(2)若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值．
压轴五：向量的数量积（含最值与范围问题）（共5小题）
1．（23-24高一下·重庆·期中）已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为 .
2．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
3．（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
4．（23-24高一下·天津·期中）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
5．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 .
压轴六：向量的模（含最值与范围问题）（共5小题）
1．（21-22高一下·河南商丘·期中）已知向量，则的最大值为 ．
2．（22-23高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为 ．

3．（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题
(1)在平面直角坐标系中，已知，；
(2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
4．（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标；
（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.
5．（22-23高一下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；
(2)如果点满足，设，求的最小值．
压轴七：平面向量中的新定义题（共5小题）
1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
(1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
2．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
3．（23-24高一下·浙江台州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．
4．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数．
(1)设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
(2)设向量的特征函数为，且，求的值；
(3)已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围．
5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量满足，求的值；
(2)①若，用坐标表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值．
压轴八：三角形周长（边长代数和）问题（最值与范围问题）（共5小题）
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
2．（24-25高三上·河北承德·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且．
(1)若，求的面积；
(2)求的最小值．
3．（24-25高二上·浙江衢州·期中）在平面四边形中，，点在上且满足，且
(1)求；
(2)若，求四边形周长的最大值
4．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______．
(1)求B的大小：
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若边上的高为1，求面积的最小值．
5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）在中，有，其中、、分别为角、、的对边.
(1)求角的大小；
(2)设点是的中点，若，求的取值范围.
压轴九：三角形面积问题（最值与范围问题）（共5小题）
1．（22-23高二下·江西景德镇·期中）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.
(1)求A；
(2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）△的内角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．
3．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
4．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值.
5．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交于，，求面积的最小值.
压轴十：正余弦定理与三角函数性质结合（共3小题）
1．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
2．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和．
3．（22-23高一下·湖南·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，
．
(1)求角B；
(2)若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．