备战高二数学下学期期中（北师大）专题03 第二章导数的概念意义及运算（考点梳理）（原卷版）

展开

这是一份备战高二数学下学期期中（北师大）专题03 第二章导数的概念意义及运算（考点梳理）（原卷版），共10页。试卷主要包含了在型求切线方程，过型求切线方程等内容，欢迎下载使用。

清单01 函数的平均变化率
定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
清单02 函数在处的导数（瞬时变化率）
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
清单03 导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
清单04 曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【考点题型一】求平均变化率（）
【例1】（23-24高二下·江西抚州·期中）函数在上的平均变化率等于（）
A．B．C．D．
【变式1-1】.（23-24高三上·江西南昌·开学考试）若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【变式1-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（）
A．1B．1.1C．2D．2.1
【变式1-3】.（23-24高二下·江西·期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（）
A．B．C．D．
【变式1-4】（23-24高二下·江西·期中）函数在区间上的平均变化率为 .
【考点题型二】求瞬时变化率（）
【例2】（23-24高二下·江西·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为．
【变式2-1】.23-24高二下·江西南昌·期末）某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（）
A．B．C．D．
【变式2-2】.（23-24高二下·江西·期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）
A．B．
C．D．
【变式2-3】.（23-24高二下·江西·阶段练习）某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（）
A．B．
C．D．
【变式2-4】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（）
A．B．C．D．
【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（）
【例3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）设是的导函数，且，则 .
【变式3-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（）
A．B．C．D．
【变式3-2】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（）
A．B．2C．D．1
【变式3-3】.（23-24高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（）
A．B．1C．2D．3
【变式3-4】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知，则 .
【考点题型四】求在某一点出切线（）
【例4】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 .
【变式4-1】.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
【变式4-2】.（22-23高三上·江西赣州·阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
【变式4-3】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（）
A．B．C．D．
【变式4-4】.（23-24高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
【考点题型五】求过某一点处切线（）
【例5】（23-24高二下·江西·期中）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求过点且与曲线相切的切线方程．
【变式5-1】.（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（）
A．B．
C．D．
【变式5-2】.（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为．
【变式5-3】.（2023·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是．
【变式5-4】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知曲线在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)求曲线过点的切线方程.
【考点题型六】已知切线求参数（）
【例6】（23-24高一下·云南曲靖·期中）若曲线在点处的切线方程是，则．
【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（）
A．4B．C．2D．
【变式6-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数在点处的切线在轴上的截距等于，则（）
A．B．0C．1D．2
【变式6-3】.（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 .
【考点题型七】已知某点处的导数值求参数
【例7】（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（）
A．eB．C．1D．
【变式7-1】.（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（）
A．B．1C．D．
【变式7-2】.（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知，若，则（）
A．B．C．D．
【变式7-3】.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数（且），若，则（）
A．2B．C．3D．
【变式7-4】.（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知，若，则等于（）
A．B．C．D．
【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（）
【例8】（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【变式8-1】.（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【变式8-2】.（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【变式8-3】.（多选）（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）下列求导正确的是（）
A．B．
C．D．
【变式8-4】.（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）下列求导数运算正确的有（）
A．B．
C．D．
【考点题型九】已知切线的条数求参数（）
【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（）．
A．B．C．D．
【变式9-1】.（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 .
【变式9-2】.（24-25高二下·山东·阶段练习）过可作的2条切线，那么的取值范围为．
【变式9-3】.（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是．
【考点题型十】公切线问题（）
【例10】（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则．
【变式10-1】.（24-25高二下·福建·阶段练习）函数与函数公切线的斜率为（）
A．或B．C．或D．或
【变式10-2】.（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（）
A．B．C．D．
【变式10-3】.（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则．
【变式10-4】（2025高三·全国·专题练习）若直线是曲线与的公切线，则．
提升训练
一、单选题
1．（21-22高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（）
A．B．2C．3D．1
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

A．B．C．D．
4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则（）
A．11520B．23040C．11520D．23040
5．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（）.
A．B．C．D．
6．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江西·开学考试）曲线的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为（）
A．B．C．1D．
8．（23-24高二下·江西景德镇·期末）将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（）
A．B．C．D．1
二、多选题
9．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（）
A．函数值减少了6B．函数的平均变化率为2
C．函数在处的瞬时变化率为D．函数值先变大后变小
10．（22-23高二下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．在上单调递增
B．曲线在处的切线的斜率为0
C．有1个极大值点
D．有2个极小值点
三、填空题
11．（24-25高三下·江西赣州·开学考试）已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为 .
12．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 .
四、解答题
13．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.
(1)证明：在定义域内单调递增；
(2)求在处的切线与坐标轴围成区域的面积.
14．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
15．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）（1）已知f(x)在处的导数，求的值；
（2）已知曲线，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．