备战高二数学下学期期中（北师大）专题01 高二下学期期中真题精选（第一章数列+第二章导数及其应用）（考题预测）（解析版）

这是一份备战高二数学下学期期中（北师大）专题01 高二下学期期中真题精选（第一章数列+第二章导数及其应用）（考题预测）（解析版），共56页。试卷主要包含了借助导数求切线等内容，欢迎下载使用。

题型一 等差（比）数列通项的基本量计算（高频）
题型二 等差（比）数列角标和性质（高频）
题型三 等差（比）数列前项和基本量计算
题型四 等差（比）数列前项和性质（高频）
题型五 数列求通项（重点）
题型六 数列求和之分组求和法（高频）
题型七 数列求和之裂项相消法（重点）
题型八 数列求和之错位相减法（重点）
题型九 导数的定义
题型十 借助导数求切线 （易错）
题型十一 导数的四则运算 （易错）
题型十二 利用导数求函数（不含参）的单调区间（易错）
题型十三 由函数在区间上的单调性求参数（难点）
题型十四 函数与导数图象之间的关系
题型十五 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（难点）
题型十六 函数的极值问题（重点）
题型十七 函数的最值问题（重点）
题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共7小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，若，则为（ ）
A．20B．27C．29D．32
【答案】D
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，求解即可求.
【详解】设等差数列的公差为，由，
可得，解得，
所以.
故选：D.
2．（23-24高三上·北京西城·期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数）
【答案】
【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】运用等差数列通项公式求解即可.
【详解】解：根据题意，设从下部算起，易得数列为等差数列，
则.
解得，
则．
故答案为：．
3．（23-24高二下·北京·期中）已知为等差数列，其公差，且成等比，则 ， .
【答案】 4 420
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】由成等比，可求出；可以看成以为首项，8为公差的等差数列，则由等差数列求和公式计算即可.
【详解】由题意，成等比，得，则，
代入，解得或，因为，所以，
则，
所以可以看成以为首项，8为公差的等差数列，
所以.
故答案为：4，420.
4．（24-25高三上·北京·期中）已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 .
【答案】3
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用
【分析】利用等比数列的通项公式及等差数列的性质建立方程可求得结果.
【详解】∵成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，解得或（舍），
∴.
故答案为：3.
5．（24-25高三上·北京丰台·期中）设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比 ，数列的前4项的和为 ．
【答案】
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质、求等比数列前n项和
【分析】由等比数列的性质及等差中项，并结合等比数列通项公式列方程求基本量，进而写出前4项即可得前4项和.
【详解】由题设，且，
所以，又，故，
所以，则前4项的和为.
故答案为：，
6．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为 .
【答案】
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，则利用等比数列的通项公式列方程求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由已知，
所以，即，
解得.
故答案为：
7．（24-25高三上·北京·期中）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若等比数列，求的通项公式;
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）用等差中项得到的值，求出公差即可写出等差数列的通项公式；
（2）由（1）得到的值得到的值，求出公比即可写出等比数列的通项公式.
【详解】（1）因为，
∴，
∴，∴，
∴；
（2）由题可知，又∵，
∴，
∴，
∴.
题型二、等差（比）数列角标和性质（共5小题）
1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8B．6C．4D．
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算
【分析】根据下标和性质求出，即可求出公差.
【详解】是等差数列，
，即，
．
故选：A．
2．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】D
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】由等比数列性质计算即可.
【详解】由，
可得：即，
又，所以，
由，可得：，
故选：D
3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比.
【详解】由，解得或；
数列是由正数组成的递增数列，，且.
故选:：D
4．（23-24高二下·山东日照·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．7B．8C．或8D．
【答案】D
【知识点】利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出.
【详解】等比数列中，是方程的两个根，则，
再根据等比数列性质可以求出.
故选：D.
5．（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列是等差数列，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】运用等差数列的性质公式即可求解．
【详解】由题意知，，
根据等差数列的性质，得，求出．
故答案为：．
题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共5小题）
1．（24-25高三上·北京·期中）已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（ ）
A．6B．7C．9D．10
【答案】B
【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】求得等比数列的首项和公比，由此化简并求得正确答案.
【详解】设等比数列的公比为，
，或（舍去），
所以.
由，，
，所以的最小值为.
故选：B
2．（23-24高二下·北京大兴·期中）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ．
【答案】(答案不唯一，满足)
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算
【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得.
【详解】由题意知等差数列前和公式，
且，，，
解之可得，.
故答案为：(答案不唯一，满足)
3．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列共有20项，各项之和，首项
(1)求数列的公差；
(2)求第20项
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出公差d与第20项．
【详解】（1）等差数列共有20项，各项之和，首项，
所以，解得公差.
（2）等差数列，首项，公差，
所以第20项为.
4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程组求解可得；
（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得最小，然后由求和公式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则由条件得，
解得，
所以．
（2）由（1）知，
令，得，
所以数列的前项和是的最小值，
即．
5．（23-24高三上·北京丰台·期中）在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．
(1)求和；
(2)设，记，求．
【答案】(1)，.
(2)
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】（1）利用等比数列的通项公式与前项和的定义得到的关系式，从而得解；
（2）由（1）得，从而利用等差数列的前项和公式即可得解.
【详解】（1）依题意，，设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
题型四、等差（比）数列前项和性质（共5小题）
1．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知为等差数列，若，则=（ ）
A．73B．120C．121D．122
【答案】B
【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】
求得等差数列的首项和公差，从而求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
所以.
故选：B
2．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．27B．45C．81D．18
【答案】B
【知识点】等差数列片段和的性质及应用
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】因为等差数列，所以，，成等差数列，
可得，即，解得
，即.
故选：B.
3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列片段和性质及应用
【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值.
【详解】由题意知，，成等比数列，所以，
即，所以，
当时，取得最小值3.
故选：D.
4．（22-23高二上·北京·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 .
【答案】6
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.
【详解】由已知得，，
令n=5，则，，
所以，
故答案为：6.
5．（24-25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】由已知可得，可求得，可求的值.
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，
由，，可得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
题型五、数列求通项（共10小题）
1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累加法求数列通项
【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案.
【详解】因为，所以当时，，当时，，
所以，显然的最小值是，
又，，则，
所以的最小值是；
故选：A
2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.
【详解】当时，；
当时，，
经验证，不符合上式，所以
故选：.
3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式
【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可.
【详解】数列中，，因此，
则数列是常数列，于是，，
所以.
故选：B
4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】累加法求数列通项、基本不等式求和的最小值
【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案.
【详解】因为，所以由递推公式可得
当时，等式两边分别相加，得
，
因为，则，而满足上式，所以，
即，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，，
当时，，因为，所以的最小值为.
故选：A.
5．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】累乘法求数列通项、求等差数列前n项和
【分析】由已知得，利用累乘法求出，从而可求得，代入中化简，再利用对勾函数的性质可求得结果.
【详解】由，得，
因为，所以
，
所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的性质可知，
当时，取得最小值.
故选：C
6．（24-25高三上·北京·期中）设为数列的前项和，若，则 .
【答案】16
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由数列前项和求出数列为公比为2等比数列，由等比数列的性质即可得到分式结果.
【详解】当时，，∴，
当时，，∴，∴，
∴数列为公比为2的等比数列，
∴，
故答案为：16
7．（22-23高二下·北京·期中）数列中，若，，则 .
【答案】
【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.
【详解】由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
8．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 .
【答案】/
【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式
【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果.
【详解】当时，有，即，
再由可得：，
所以是常数数列，首项，则，即，
再由可得：，，
由累加法得，
所以，，
当时，，满足，
所以，
则，
故答案为：.
9．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 .
【答案】/
【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得.
【详解】数列中，，
当时，，
两式相减得，解得，
而满足，因此，
令，
因，则数列是等差数列，
由的最大值为，得，解得，
故实数的最大值是.
故答案为：.
10．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】构造法求数列通项、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论；
【详解】（1）已知，，
，
是以为首项、为公比的等比数列，
．
题型六、数列求和之分组求和法（共5小题）
1．（24-25高三上·北京通州·期中）已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、由定义判定等比数列、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系，
判断出数列的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用分组求和法及公式法进行求和即可．
【详解】（1）解：因为，，①
所以有，．②
②①得．
所以数列成以为首项，以为公比的等比数列．
所以．
又数列是等差数列，且，．
所以，．
所以．
（2）因为
设数列的前项和为，
所以
．
2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，且，求.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和
【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式；
（2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和；
（3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解
【详解】（1）当时， 得.
由已知①
当时，, ②
①-②得.
所以 .
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以.
设数列公差为，

由得
所以.
综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：.
（2）设，前项和
（3）
即，即，解得
3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，且.
(1)求的值并证明是等比数列；
(2)求数列的通项公式和数列的前项和；
(3)求.
【答案】(1)，证明见解析
(2)；数列的前项和为
(3)
【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）先根据递推公式求出的值，再利用即可得的值；由等比数列定义去证明数列为等比数列；
（2）依据等比数列的通项公式，结合，即可得数列的通项公式；数列的前项和,先分组，再按等比、等差数列的求和公式计算即可；
（3）由，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则由等比数列的求和公式计算可得.
【详解】（1）由，，得，
又，所以；
因为，
又，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，又，
所以，所以；
设数列的前项和为，
则
.
（3）由（1）可知，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值是
【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合题干条件列方程组求解，再由公比是整数舍去不符的结果，然后得出通项公式；
（2）根据分组求和算出的表达式，利用的大小关系观察得出项中的符号，求得最小值.
【详解】（1）设公比为，由题意有，
代入得，故或2，
又各项均为整数，故，
于是.
（2），
，
，
所以，，
注意到，
，且当时，，
所以，的最小值是.
5．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列中，，______，其中，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
从①，②，③前项和，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①，②，③的答案都为，
(2).
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）设等差数列的公差为，
若选①，由关系求公差，再由通项公式求，
若选②，由递推关系求公差，再由通项公式求，
若选③，由时，，可求，由此可确定其通项；
（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
若选①， 由，可得，，
所以，
若选②，由可得，，又，
所以，
若选③，由，可得当时，，
又，满足关系，
所以，
（2）因为，，所以
所以；
所以
，
所以.
题型七、数列求和之裂项相消法（共5小题）
1．（22-23高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若满足，求数列的前项和公式.
【答案】(1)
(2)
【知识点】裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）求得公差，可求的通项公式；
（2）由，利用裂项求和法，即可求数列的前项和公式.
【详解】（1）因为为等差数列，且，，
，，
；
的通项公式；
（2），
设数列的前项和为，
.
2．（22-23高二下·北京昌平·期中）在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式和前n项和；
(2)设，求数列的前n项和公式．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则，
.
（2）由（1）可知，，
可得数列的前项和
.
3．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知数列中，， ，其中 ．
从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)，.
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】（1）选①，利用与的关系求出即可；选②③，判断等比数列，再利用等比数列定义求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用等差数列定义判断作答.
（3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）选①，当时，，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式是 .
选②，依题意，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，
所以数列的通项公式是.
选③，由，，知，，则数列为等比数列，
公比为，有，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，显然，
所以数列是以1为公差的等差数列.
（3）由（2）知，，
.
4．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列的首项为，且满足．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式；
（2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由，，得，则，
于是，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
故，所以,
（2）由（1）知，
所以.
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【知识点】裂项相消法求和、等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，解方程组即可得解.
（2）先求的通项公式，然后再利用裂项相消求和法求得，根据等差中项定义得出等式关系，代入即可得出关于的等式关系，然后取值验证即可得解.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得：，，
于是有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
假设存在正整数m，n，使得成等差数列，
则，
即，整理得，
显然是50的正约数，又，则或25，50.
当时，即时，与矛盾，
当时，即时，，符合题意，
当时，即时，无解
所以存在正整数使得成等差数列，此时.
题型八、数列求和之错位相减法（共5小题）
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列.
(1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
(2)若，设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据等差中项可得，即可根据的关系即可得为等比数列；
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题可得，当时，，
当时，，整理得，又，
所以，
数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
；
（2）由题意可得：，
所以，则有
，
，
由错位相减得
，
所以.
2．（24-25高三上·福建·期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两个等式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）因为数列的前项和为，且，
则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，且，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，.
（2）因为，
所以，①，
则②，
②得
，
因此，.
3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列前项和为；
(3)设求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】裂项相消法求和、错位相减法求和、等比中项的应用、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）变形得到，裂项相消法求和；
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）根据题意，因为，，，成等比数列，
所以，又，
解得，，
故；
（2）因为
，
所以
；
（3）∵
∴①，
②，
∴①-②得
∴.
4．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知数列：1，，，…，，…
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求；
(3)设，，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、裂项相消法求和、错位相减法求和
【分析】（1）由数列前几项可得，由等差数列求和公式化简即可；
（2）由（1）可得，利用“错位相减法”即可求得．
（3）由（1）可得，裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由条件可知：.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
，
两式相减，得
，
∴.
（3）由（1）知，
∴，
∴
，
故得证.
【点睛】关键点点睛：第三问关键在于得到后利用放缩法得到，进而利用裂项相消法求得，放缩法是证明不等式成立的一种重要方法.
5．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：；
(3)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明；
（2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可；
（3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果.
【详解】（1）由题设，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，得证.
（2）令数列的公差为，而，
所以，又，
则
恒成立，
所以，得证.
（3）由上知，则，
则，即，
所以，即.
题型九、导数的定义（共5小题）
1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算
【分析】利用导数的概念计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：D
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算
【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即可.
【详解】函数，求导得，，
所以.
故选：A
3．（22-23高二下·北京大兴·期中）若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）
【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果.
【详解】因为，
则.
故选: B
4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式
【分析】先求出，利用导数求出，即可求解.
【详解】.
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
5．（22-23高二下·北京丰台·期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

【答案】1
【知识点】导数定义中极限的简单计算、求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知两点求斜率
【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
题型十、借助导数求切线（共5小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则
【分析】设，求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可求出的坐标，最后还需检验.
【详解】设，由，可得，
则，
依题意可得，解得或，
所以或，
当时切线为，符合题意；
当时切线为，符合题意.
综上可得或.
故选：B
2．（22-23高二下·北京·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】求导函数，
当时，，
∴曲线在点处的切线方程为：，
即.
故选：A.
3．（22-23高二下·北京·期中）下列直线中是曲线的一条切线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】首先求导有，排除AB选项，再分别检验CD选项即可.
【详解】，则切线斜率应大于等于2，故排除AB选项，
对C，令，解得，则，经检验切点位于直线上，
对D，令，解得，
当，，则切点为，经检验不在直线上，
当，，则切点为，经检验不在直线上，
故选：C.
4．（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】对函数求导并求出导函数的最小值及切点坐标，再由点斜式方程即可得出结果.
【详解】由可得，
再由二次函数性质可得，当时，函数取得最小值，
因此可得切线斜率最小值为，此时切点为，
所以切线方程为，即.
故答案为：
5．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知曲线，则在处的切线方程为 ，过原点的切线方程为 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式
【分析】求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程；设切点坐标为，可得切线方程为，代入原点可得，即可得切线方程.
【详解】因为，则，
若，可得，可知切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为；
设切点坐标为，切线斜率，
可得曲线在处的切线方程为，
若切线过原点，即，解得，
可得切线方程为，即.
故答案为：；.
题型十一、导数的四则运算（共4小题）
1．（22-23高二下·北京海淀·期中）下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据基本函数的导数公式进行求解即可.
【详解】根据导数公式可知选项A、B、D是正确的；
对于C，，故C错误.
故选：C.
2．（22-23高二下·北京通州·期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】根据导数公式表以及导数的运算法则运算可得答案.
【详解】，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：C
3．（22-23高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则
【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可
【详解】因为,所以①错,
因为,所以②错,
因为,所以③错.
因为,所以④错,
故选：A.
4．（22-23高二下·北京·期中）函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数
【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.
【详解】解：由已知可得，
故选：B.
题型十二、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共5小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求导后，令，解出单调增区间即可.
【详解】，
因为恒成立，
所以当时，，
即函数的单调递增区间是.
故选：D.
2．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，，
因为，由可得，
因此，函数的单调递增区间是.
故选：D.
3．（23-24高二下·北京·期中）函数的递增区间是 ．
【答案】，
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】由题意求函数定义域，再求导函数，利用，求得函数的单调递增区间即可.
【详解】由题意：函数，定义域为，
且，
令，即，解得或，
所以函数的递增区间是.
故答案为：，.
4．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调增区间为 ，极值点是 .
【答案】 1
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点
【分析】先求解出，求出函数的单调区间，得出函数的极值点.
【详解】因为，令，解得，
所以单调递增区间为，
令，解得，即函数的单调递减区间为，
所以是函数的极大值点.
故答案为：；1
5．（22-23高二下·北京西城·期中）已知函数，则的极大值为 ；的单调递减区间为 ．
【答案】
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值
【分析】根据导函数的正负求到单调区间，再根据极大值的定义求值即可.
【详解】由题意得，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以时，函数取得极大值为.
故答案为：；.
题型十三、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）若在上单调递增，则a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、辅助角公式
【分析】问题转化为在恒成立，在根据三角函数的性质求解。
【详解】由题意可知在恒成立，
，
取，则，即为函数的一个单调区间，所以的最大值为。
故选：C
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可.
【详解】由，函数定义域为，
当时，函数单调递增，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
若函数在区间不单调，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故选：B.
3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
【答案】
【知识点】由函数的单调区间求参数
【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可.
【详解】由题意可得：且，解得
此时，令解得符合题意，故.
故答案为：.
4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由函数的单调区间求参数
【分析】函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；
在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.
【详解】因为，，
在区间内单调递增，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立，
，，因为在，
，则的取值范围是：.
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，.则的取值范围是：.
故答案为：；.
5．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知函数，若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由题意可得将问题转化为在时恒成立，即在时恒成立，然后求出的最大值即可.
【详解】因为在区间上是增函数，
所以在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
题型十四、函数与导数图象之间的关系（共5小题）
1．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．2是的极大值点B．在处的切线斜率大于0
C．D．在上一定存在最小值
【答案】C
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】利用导函数图像，得到原函数单调性，利用极值点的定义判断A，利用导数的几何意义判断B，利用函数的单调性判断C，将极小值与端点值比较判断D即可.
【详解】由图像得在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，显然2是的极大值点，故A正确，
由图像得，而在处的切线斜率即为，
结合可得在处的切线斜率大于0，故B正确，
由图像得在上单调递减，故成立，故C错误，
由图像得在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
是函数极小值，且，，
故在上一定存在最小值，故D正确.
故选：C
2．（23-24高二下·北京·期中）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．是区间上的增函数B．是区间上的减函数
C．1是的极大值点D．4是的极小值点
【答案】D
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】由导函数图象与函数单调性的关系可得函数的单调性，即可得函数的极值点.
【详解】由图可知：当时，，
当时，，
故在、上单调递减，在、上单调递增，
故A错误，B错误，C错误，D正确.
故选：D.
3．（23-24高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．在上单调递增
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．曲线在处的切线斜率为2
【答案】B
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据题意，利用函数的图象，结合函数和的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据函数的图象得，当时，，
所以函数在上单调递增，所以A正确；
对于B中，根据函数的图象知，在的左右两侧附近，可得，
所以单调递增，则不是函数的极值点，所以B错误；
对于C中，根据函数的图象知，当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，
所以是函数的一个极大值点，所以C正确；
对于D中，根据函数的图象知，，
即曲线在 处的切线斜率为，所以D正确.
故选：B.
4．（22-23高二下·北京丰台·期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ）

A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．为极值点
D．为极值点
【答案】D
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.
【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；
B，因时，，则在上单调递增，故B正确；
C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；
D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.
故选：D
5．（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】确定函数在和上单调递减，在和上单调递增，对比得到答案.
【详解】设导函数图像与的交点横坐标分别为和，，，
根据图像：
和时，；
和时，；
则函数在和上单调递减，在和上单调递增.
对比图像知C满足.
故选：C.
题型十五、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共5小题）
1．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
【答案】(1)答案见详解
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，，
若，则，可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，当，，当，，
可知函数的增区间为，减区间为；
综上所述：若，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中.
(1)若，求此时的值；
(2)求的单调区间；
【答案】(1)2
(2)增区间，减区间
【知识点】导数的运算法则、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出导数，由，即可解得的值；
（2）利用导数的正负，求得的单调区间；
【详解】（1）函数，则，
因为，所以，解得.
（2）的定义域为，，
所以在区间和上单调递减，
在区间上单调递增，
所以的递增区间为，递减区间为；
3．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数（）．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求出，得到函数的单调区间，从而求得函数的最大值；
（2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性；
【详解】（1）当时，，令，则，于是可列表如下：
∴当时，取最大值为.
（2）（），
当时，令或，
①当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
④当时，由，则函数在上单调递增.
综上：
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间.
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数．
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果；
（2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性；
【详解】（1）当a＝1时，，得，
，则，
所以切线方程为：，
即；
（2）由题，可得，
当时，当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
当时，的解为，，
①当，即时，恒成立，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间，上，满足，在区间上，满足，
此时在，上单调递增；在上单调递减；
③当，即时，
在区间，上，满足，在区间上，满足，
即在，上单调递增；在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中.
(1)判断曲线在处切线是否与轴平行；
(2)求的单调区间；
【答案】(1)平行；
(2)答案见详解；
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数求出斜率，由解析式求切点纵坐标，求出切线方程可得；
（2）求导，分，，讨论可的单调区间；
【详解】（1）因为，所以，
又，所以曲线在处的切线为，与轴平行.
（2）令，则或.
当时，时，，；
时，，.
故时，，所以单调递增区间为.
当时，，则有
所以单调递增区间为和，单调递减区间为.
当时，，则有
所以单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上，当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间为.
题型十六、函数的极值问题（共5小题）
1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间．
(2)若函数在时取得极值，求的值；
【答案】(1)和，单调减区间是
(2)
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间即可；
（2）求导，根据极值点处导数值为0可得，并代入检验即可；
【详解】（1）因为的定义域为，
当时，则，可得，
令，解得或；令，解得；
所以的单调增区间是和，单调减区间是.
（2）由题意可得：，
若函数在时取得极值，
则，解得：，
当时，，
当或时，；当时，；
可知的单调增区间是和，单调减区间是，
则是的极大值点，符合题意，
综上所述：.
2．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为实数，函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)当时，求函数的极小值点；
【答案】(1)；
(2)；
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，利用导数结合极值点的定义求解即可.
【详解】（1）当时，函数，求导得，
则，而，于是切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线的方程.
（2）当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且仅有一个极小值点.
3．（23-24高二下·北京·期中）已知，．
(1)求曲线在点处的切线；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数
【分析】（1）根据导数的几何意义得曲线在点处的切线方程为，再结合题意得，进而得答案；
（2）由题知在区间上有变号零点，进而分和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）因为，所以，，则，
所以函数在出的切线方程为，即.
（2）由（1）得，
因为函数在区间上存在极值，
所以在区间上有变号零点，
当时，在区间上单调递增，，故不符合题意；
当时，在区间上单调递减，且当趋近于时，趋近于，
故要使在区间上有变号零点，则，即，
综上，，即的取值范围是.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的极值点的个数.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解
(2)答案见详解
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点
【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值；
（2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，
（ⅰ）由题意可知：，解得，
（ⅱ）此时，，
若，则，可得，
可知在内单调递减；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为，
极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知：函数的定义域为，且，
若，则，可知在内单调递减，无极值点；
若，令，整理得，
构建，则，
若，则；若，则；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于；
作出的图象，如图所示：
且，可知：
当，则，
可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点；
当，则，
可知与没有交点，可知没有极值点；
综上所述：若，有0个极值点；
若，有且仅有1个极值点.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
5．（23-24高三上·河南·期中）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直．
(1)求l的方程；
(2)求的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值.
【详解】（1）解：由函数，可得，
因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直，
可得，解得，所以
又因为，
故所求切线方程为，即．
（2）解：由（1）可知，，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，
故的极大值为，
极小值为．
题型十七、函数的最值问题（共5小题）
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)最大值为，最小值为1.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间；
（2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值.
【详解】（1），
由题意得，解得，
，定义域为R，
，
令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为，
此时函数在处取得极小值，满足题意；
（2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
又，其中，
故在区间上的最小值为1，
综上，在区间上的最大值为，最小值为1.
2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为36，最小值为
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）令得到或1，分别求得极值和区间的端点值求解.
【详解】（1）解：函数，定义域为，
则，
所以，又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即；
（2）函数，，
则，
令得，或1，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为36，最小值为．
3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)增区间，减区间
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）令可得单调递增区间，令可得单调递减区间；
（3）求出在上单调性，即可利用单调性求出最值.
【详解】（1）因为，所以，又，
所以曲线在处切线的方程为，即 .
（2）由，
令，可得或，
令，可得，
所以函数的增区间为和，减区间为.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最小值为.
4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的递增区间；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)的最大值为，最小值为
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k，根据切点处的导数等于切线斜率可得a，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；
（2）求导，解不等式即可；
（3）求导，解方程，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.
【详解】（1）因为切点为，所以，得．
因为，所以，得．
则．
由得．所以．
（2）由得．
令，解得或．
所以函数的递增区间为，．
（3），
令，得．
列表：
因为，
所以当时，的最大值为，最小值为．
5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数.
(1)若为的极值点，求实数的值；
(2)若，求在区间上的最值；
【答案】(1)或
(2)最大值为，最小值为
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）求导，然后利用求出，代入的值验证即可；
（2）代入，然后求导，确定单调性，进而可得最值.
【详解】（1）由已知，因为为的极值点，
所以，解得或，
当时，，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点，
当时，，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点，
综上所述：若为的极值点，或；
（2）若，则，则，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，
又，，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为1
0
单调递增
极大值
单调递减
0
0
0
极大值
极小值
0
0
0
极大值
极小值
x
0
1
2
-
0
+
0
递减
极小值
递增
2