备战高二数学下学期期中（北师大）专题01 第一章 等差数列与等比数列（考点梳理）（原卷版）

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清单01 等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
清单02 等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
清单03 等差数列判断（证明）方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
清单04 等差数列性质
①
②若，则（特别的，当，有）
清单05 等差数列前N项和
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
清单06 等差数列前n项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则，，，
清单07 等比数列概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
清单08 等比数列判断与证明
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
清单09 等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
清单10 等比数列前n项和
若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和
清单11 等比数列前n项和性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时, ;当是奇数时,
(3)
【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（）
【例1】（多选）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则数列为等差数列
B．若，则数列为等比数列
C．若数列是等差数列，则，，成等差数列
D．若数列是等比数列，则，，成等比数列
【变式1-1】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期末）数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是周期为6的数列
B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列
C．若，则数列是等比数列
D．若正数满足，则数列为递增数列
【变式1-3】.（多选）（2024·江西·模拟预测）在数列中，，对任意正整数n，都有，则（ ）
A．若，则是等差数列
B．若是等比数列，则
C．存在，使得是等差数列
D．存在，使得是等比数列
【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（）
【例2】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足．
(1)证明：数列是等比数列；
【变式2-1】.（23-24高二下·江西萍乡）在数列中，，.
(1)证明：为等比数列.
【变式2-2】.（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，.
(1)证明是等比数列；
【变式2-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式;
【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（）
【例3】（北京市顺义区2025届高三下学期统一测试（一模）数学试卷）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】.（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】.（23-24高二下·江苏南京）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式3-3】.（多选）（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列
B．为递减数列
C．当或时，的值最大
D．使得成立的的最大值是4038
【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（）
【例4】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．是数列中的最小项
C．和是中的最小项D．满足的的最大值为25
【变式4-1】.（多选）（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
【变式4-2】.（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 .
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的最大项.
【考点题型五】等差数列角标和性质（）
【例5】（2025·江西九江·二模）等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ）
A．36B．30C．20D．18
【变式5-1】.（2025·江西上饶·一模）某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（ ）
A．25B．23C．21D．19
【变式5-2】.（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-3】.（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，，则＝
【变式5-4】.（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则 .
【考点题型六】等比数列角标和性质（）
【例6】（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-1】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知在等比数列中，，，若函数，则（ ）
A．2B．C．D．
【变式6-3】.（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48B．72C．147D．192
【变式6-4】.（22-23高二下·江西赣州·期中）已知等比数列中，，则（ ）
A．20B．17C．16D．15
【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（）
【例7】（24-25高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差 .
【变式7-1】.（2024·江西上饶·一模）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（ ）
A．3B．C．1D．
【变式7-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．96B．162C．243D．486
【变式7-3】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．212B．168C．121D．163
【变式7-4】.（2025·江西南昌·一模）已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 ．
【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（）
【例8】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 .
【变式8-1】.（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】.（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ）
A．42B．48C．60D．72
【变式8-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ， .
【变式8-4】.（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ．
【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（）
【例9】（2024·江西·模拟预测）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】.（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】.（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则= .
【变式9-4】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则
【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（）
【例10】（2022·江西南昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为
【变式10-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（ ）
A．2B．3C．D．
【变式10-2】.（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．80B．30C．26D．16
【变式10-3】.（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（ ）
A．90B．50
C．40D．30
【变式10-4】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ．
【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）（）
【例11】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
【变式11-1】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2B．-2C．-1D．2或-2
【变式11-2】.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ．
【变式11-3】.（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
提升训练
一、单选题
1．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，，，则（ ）
A．2015B．2017C．2019D．2021
2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，若，，则该数列的公差为（ ）
A．B．1C．2D．
3．（2025高三下·全国·专题练习）已知在等差数列中，，则（ ）
A．18B．16C．20D．17
4．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）
A．20B．21C．24D．28
6．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（ ）
A．12B．4C．D．
7．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（ ）
A．11B．31C．61D．121
8．（2025·江西南昌·一模）已知为等比数列，若，则的公比（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题
9．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·江苏·期末）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．，，一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若存在，使对都成立，则是等差数列
三、填空题
11．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知，是方程的两根，若，分别是，的等差中项和等比中项，则 ．
12．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ．
四、解答题
13．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习） 已知数列的前项和公式为
(1)求的最小值及对应的的值；
(2)求数列的通项公式.
14．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)求的值.
15．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.