备战高二数学下学期期中（人教B）专题02 二项式定理高频题型归类（考题预测）（原卷版）

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题型一 求项的系数问题
题型二 两个二项式的乘积问题
题型三 三项式问题
题型四 展开式和问题
题型五 整除问题
题型六 杨辉三角问题
题型七 二项式系数与项的系数最大问题
题型一 求项的系数问题
1．（2024·25高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．60B．C．64D．
2．（2023·24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2024·25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 .
5．（2024·25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ．
6．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中.
(1)若，求展开式中含项的系数；
(2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值.
题型二 两个二项式的乘积问题
7．（2024·25高三上·云南德宏·阶段练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．B．0C．5D．10
9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
10．（2023·24高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 （用数字作答）
11．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）在的展开式中，______．
给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值并求展开式中的常数项；
(2)求展开式中的系数．
12．（2023·24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为．
(1)求n的值，
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中含的项的系数．
题型三 三项式问题
13．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10B．C．60D．
14．（2023·24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（ ）
A．B．299C．D．301
15．（2023·24高二下·湖北·期中）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为1B．存在无理项
C．常数项为400D．的系数为－80
16．（2023·24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ．
17．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）展开式中含项的系数是 ．
18．（2023·24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ．
19．（2023·24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则 ， .
题型四 展开式和问题
20．（2023·24高二下·新疆·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）（多选）已知，则（ ）
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．
D．
22．（2023·24高二下·江苏南京·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）已知.
(1)求
(2)求
(3)
24．（2023·24高二下·江苏镇江·期中）（多选）已知，下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五 整除问题
25．（2023·24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（ ）
A．1B．2C．0D．5
26．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6B．10C．55D．63
27．（2023·24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
28．（2023·24高二下·浙江·期中）（多选）已知，若，则正确的是（ ）
A．B．
C．除以6所得余数为5D．
29．（2024·25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 .
30．（2023·24高二下·山东青岛·期中）已知展开式的二项式系数和为64.
(1)若，求的值；
(2)证明：为正整数.
31．（2023·24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式.
(1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
(2)若，求二项式的值被除的余数；
题型六 杨辉三角问题
32．（2022·23高二下·山西太原·阶段练习）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
33．（2023·24高二下·山东聊城·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．第16行所有数字之和为
C．第2024行的第1012个数最大
D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1:3
34．（2024·25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示：
如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图：
在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ．
35．（2023·24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2．
36．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第11行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
题型七 二项式系数与项的系数最大问题
37．（2024·25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ．
38．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 .
39．（2023·24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值
40．（2024·25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
41．（2023·24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知．
(1)求；
(2)指出，，，⋯，中最大的项．
42．（2023·24高二下·江苏南通·期中）在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同，
(1)求所有偶数项的二项式系数的和；
(2)求各项系数绝对值之和．
(3)若记，求展开式中中取最大项时的值．
43．（2023·24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
(1)求实数a和n的值；
(2)求展开式中系数最小的项．