备战高二数学下学期期中（人教B）专题05 数列高频题型归类（考题预测）（原卷版）

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题型一 等差等比数列基本量的计算
题型二 等差数列下标和性质
题型三 等差数列前n项和性质
题型四 等比数列下标和性质
题型五 等比数列前n项性质
题型六 等差等比数列的证明
题型七 求通项公式
题型八 倒序相加法
题型九 分组求和法
题型十 裂项相消法
题型十一 错位相减法
题型一 等差等比数列基本量的计算
1．（2024·25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．1D．3
3．（2023·24高三上·湖北宜昌·期中）已知公差为的等差数列中，，，成等比数列，则的前项的和为 .
4．（2023·24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
5．（2024·25高三上·四川成都·期中）若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则 ．
题型二 等差数列下标和性质
6．（2024·25高二下·广西南宁·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13B．45C．104D．130
7．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·24高三上·山东济宁·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，最大D．当时，的最大值为14
10．（2024·25高三上·福建福州·期中）已知是数列的前项和，，且对于任意，有，则 .
题型三 等差数列前n项和性质
11．（2024·25高三上·山东济南·期中）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ）

A．1125块B．1134块C．1143块D．112块
12．（2023·24高三上·四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023B．-2 023C．-2 024D．2 024
13．（2024·25高三上·山西大同·期中）记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
14．（2023·24高二下·江苏盐城·期末）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．时，取最大值B．
C．若，D．若时，
15．（2023·24高二下·福建厦门·期末）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列的最大项为D．
16．（2023·24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
17．（2023·24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为 .
题型四 等比数列下标和性质
18．（2023·24高二下·广东佛山·期末）已知等比数列满足，则有（ ）
A．最小值B．最大值18C．最小值27D．最大值
19．（2023·24高二下·广东汕头·期末）已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．2B．4C．D．
20．（2023·24高一下·河北石家庄·期中）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大正整数的值为198
21．（2025·山西·一模）已知等比数列的前项积为，若，则 .
22．（2023·24高一下·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
23．（2023·24高二下·四川成都·期中）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
题型五 等比数列前n项性质
24．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
25．（2023·24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
26．（2023·24高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
27．（2024·25高二下·福建福州·期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ．
题型六 等差等比数列的证明
29．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知满足，且．
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式．
30．（2023·24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前项和.
31．（2024·25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
32．（2023·24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
33．（2023·24高三下·河北沧州·期中）在数列中，，都有成立.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.
34．（2024·25高二上·上海·期中）设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项以及其前项和.
题型七 求通项公式
35．（2024·25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·24高二上·河南·期中）已知数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
37．（2024·25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 .
38．（2024·25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
39．（2024·25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ．
40．（2024·25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求实数的取值范围．
题型八 倒序相加法
41．（2024·25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（ ）
A．B．1012C．D．1013
42．（2023·24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
43．（2024·25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 .
44．（2023·24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
题型九 分组求和法
45．（2024·25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（ ）
A．1360B．1358C．1350D．1348
46．（2024·河南洛阳·一模）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A．1033B．2057C．1034D．2058
47．（2023·24高二上·江苏徐州·期中）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)若成等比数列，求m的值；
(2)设，求数列的前n项和．
48．（2024·25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)若，的前项和为，求．
49．（2024·25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求
50．（2024·25高三上·福建南平·期中）已知数列的各项均不为零，为其前项和，且.
(1)探究：与的关系；
(2)若，数列为等比数列，，，求数列的前项和.
题型十 裂项相消法
51．（2024·25高二上·云南昭通·期中）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
52．（2020·21高二上·江苏南通·期中）设数列满足，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
53．（2024·25高二上·福建龙岩·期中）在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 .
54．（2021·22高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
55．（2020·21高三上·山西·期中）知正项数列的前n项和为，满足（，），．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和的表达式．
56．（2024·25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
(1)求公差和；
(2)记，证明：．
题型十一 错位相减法
57．（2024·25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 .
58．（2023·24高二下·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则
59．（2024·25高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
60．（2024·25高二上·甘肃兰州·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和．
61．（2024·25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，数列的前n项和．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
62．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求的前项和．