备战高二数学下学期期中（人教B）清单02 二项式定理（考点梳理）（原卷版）

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清单01 二项式定理
该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，
其中各项的系数叫做二项式系数，
展开式的第项为
注意：①是第项，而不是第k项；
②通项公式中a，b的位置不能颠倒．
清单02 二项式系数的性质
清单03 系数之和
①求各项系数之和，令即可
②若，则f(x)展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为.
清单04 系数的最大值
求展开式中系数最大的项
【考点题型一】二项式定理展开及其逆运用（）
【例1】
【变式1-1】求的展开式；
【变式1-2】化简： ．
【变式1-3】的值为 ．
【变式1-4】已知等式，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【考点题型二】指定项系数（）
【例2】二项式的展开式中，项的系数为 .
【变式2-1】已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为 .
【变式2-2】若，且，则 .
【变式2-3】在的展开式中，含项的系数为 ．
【变式2-4】已知，若，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点题型三】有理项（）
【例3】二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求：
(1)展开式中所有二项式系数的和；
(2)展开式中所有的有理项．
【变式3-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（ ）
A．8B．5C．3D．2
【变式3-2】展开式中有理项的个数为 .
【变式3-3】（多选）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（ ）
A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项
【变式3-4】在的展开式中.
(1)求展开式的第4项的系数；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
【考点题型四】系数和问题（）
【例4】已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．展开式中所有偶次项系数和为
C．展开式中所有奇次项系数和为
D．
【变式4-1】（多选）已知二项展开式，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ．
【变式4-3】已知多项式，则 ．
【变式4-4】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【考点题型五】系数最大（小）问题（）
【例5】的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【变式5-1】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
【变式5-2】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 .
【变式5-3】的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项B．第2项和第4项
C．第3项和第1项D．第4项和第2项
【变式5-4】在的展开式中，求：
(1)常数项；
(2)含的项的系数；
(3)系数的绝对值最大的项．
【考点题型六】三项展开式系数问题（）
【例6】在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．20
【变式6-1】关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．该展开式各项的系数之和为
B．该展开式各项系数的绝对值之和为720
C．该展开式中含的各项系数之和为
D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64
【变式6-2】在的展开式中常数项为（ ）
A．721B．-61C．181D．-59
【变式6-3】在的展开式中，含项的系数为 .
【变式6-4】若，则
【考点题型七】两个二项式相乘展开系数问题（）
【例7】已知，若，则（ ）
A．B．C．15D．35
【变式7-1】若，则 .
【变式7-2】的展开式中的系数为 .
【变式7-3】若的展开式中的系数是20，则实数的值为 ．
【变式7-4】的展开式中，项的系数为 .
【考点题型八】二项式定理应用（）
【例8】今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．二B．三C．四D．五
【变式8-1】最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20B．1.21C．1.22D．1.23
【变式8-2】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6B．10C．55D．63
【变式8-3】若，则的值被4除的余数为 ．
【变式8-4】的计算结果精确到0.001的近似值是 .
【考点题型九】杨辉三角形（）
【例9】（多选）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ）
A．
B．第10行所有数字之和为
C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9
D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大
【变式9-1】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式9-2】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【变式9-3】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．
B．第8行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21行数字的最大值分别为，则
【变式9-4】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第11行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
【考点题型十】新定义问题（）
【例10】定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（ ）
A．44B．32C．35D．29
【变式10-1】定义：中，把叫做三项式的n次系数列(例如三项式的1次系数列是，按照上面的定义，该三项式的5次系数列各项之和为 .
【变式10-2】现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于
A．B．
C．D．
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到
增减性与最大值
当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值
①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；
②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大；
二项式系数的和
二项式系数的和为
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
情况
方法
可转化成求二项式系数最大的项
待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来