2025年中考数学二轮复习：圆中切线证明 提分刷题练习题（含答案解析）

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1．如图，中，，D为上的一点，以为直径的交于E，连接交于P，交于F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当，时，求的半径．
4．如图，是的直径，点为上一点，过点作的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若的半径为10，，求的长．
5．如图，的直径的长为10，直线经过点B且．点D和点C是圆上两点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点C是的中点，，求四边形的面积．
6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：．
7．如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
8．已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① ；②
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．
9．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
10．如图，为的直径，为圆上两点，， 且与的延长线交于点， 垂足为点，平分．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
11．如图，点B在以为直径的上，点D在的延长线上，连接、、，．
(1)求证：是的切线．
(2)F是延长线上的一点，过点F作于点E．若，，求的半径．
12．如图，是的直径，点C是右边半圆上的动点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，过点A作的切线交的延长线于点F，与交于点E．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)当平分时，求证：；
(3)点C运动过程中，直线总经过一个定点P，若，当所对的圆心角为时，求的面积．
13．如图，是的直径，点，是上异于，的两点，是的切线，连接，，，，延长与的延长线交于点，过点作交的延长线于点，．
(1)求证：直线是的切线．
(2)求证：．
(3)如图，过点作于点，连接交于点．探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
14．如图，内接于，为的直径，点为外一点，连接并延长分别交于点，交于点，连接，若，．
(1)求证：为的切线；
(2)若为中点，，求的半径．
15．如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
(1)求的度数；
(2)当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质：
（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解；
（2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
又，
，
，
．
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
．
而，
，
，
即．
又，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键．
3．(1)详见解析
(2)的半径长为
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切线的性质得；由得，从而有；再由同弧对的圆周角相等得，从而得结论成立；
（2）连接，由余弦函数关系可求得，进而由勾股定理求得；由垂径定理及线段垂直平分线的性质得，再证明，得,设，则，在中，由勾股定理建立方程，可求得的值，从而求得．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示，
∵是的直径，的半径为10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴
【点睛】本题考查了切线的性质，直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等，垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及锐角三角函数等知识，涉及到较多的知识点，正确应用这些知识是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)49
【分析】（1）由是的直径，知，得到，，，推出，据此即可证明结论成立；
（2）在中，推出，，根据点C是的中点，得到，根据面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
即，
∵，，
∴即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
在中，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线判定定理，圆周角定理及推论，解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，同圆或等圆中同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，锐角三角函数的正弦正切的定义．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）首先推导出，是等腰三角形，进而得证．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
平分，
．
．
．
，
．
是的半径，
∴直线是的切线；
（2）证明：∵线段是的直径，
．
．
平分，
．
．
是等腰三角形，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
7．(1)见解析；
(2)10．
【分析】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明，则所以，则平分；
（2）因为，所以，由勾股定理得求得，则，再利用三角函数可求．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵过点A作的切线交的延长线于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∴，
∴t ，
∴，
∴的长为10．
8．(1)①；②（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
（1）根据切线的判断由可判断为的切线；当可推出，即可得出答案；
（2）连接并延长交于D，连接，则为的直径．则，根据圆周角定理得，而，所以，则，根据切线的判定定理得到是的切线．
【详解】（1）解：如图，
当可判断为的切线；
当，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
故答案为：；（答案不唯一）；
（2）证明：连接并延长交于D，连接，则为的直径．
∴，
∵与对，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
9．(1)见解析
(2)长为6
【分析】（1）连接，则，所以，因为，所以，由是的直径，得，可推导出，即可证明是的切线；
（2）由，证明与相切于点A，而于相切于点C，则，然后由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
，
．
又，
．
是的直径，
．
，
．
又是的半径，
是的切线．
（2）解：是的半径，，
是的切线，
又也是的切线，
．
设，
在中，，
即，解得，
所以长为6．
【点睛】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由得出得出再由平分，可得由等腰三角形的判定得出再证明，即可得证；
（2）延长与交于点，先证明可得从而得出设为， 则，由勾股定理得再求解即可．
【详解】（1）解：连接．
平分，
为的切线；
（2）解：为上的两点，为的直径，
为的直径，
，
，
，
，
延长与交于点，
设为，则，
由（1）得，
，
∴四边形为矩形，
，
，
在中，
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握有关性质及判定是解本题的关键．
11．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，从而得到，即可证明结论；
（2）证明，得出，设的半径为r，则，，列方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
∴．
，
，
．
，
，
即．
是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
，，
，
，
，
即．
设的半径为r，则，
，
，
，
解得，
的半径为4．
12．(1)为等边三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由旋转得，，即可证明；
（2）由圆周角定理以及切线的性质证明，由平分，得到，再根据外角的性质得到，那么，即可证明；
（3）延长交于点，连接，由（1）知是等边三角形，那么，则，即直线总经过一个上定点，过点作于，则，，过点作交于点，则，导角得到，过点作于点，设，在中，，，在中，，，，在中，，化简得，而，再代入求解即可．
【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下，
证明：由旋转得，，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长交于点，连接，
由（1）知是等边三角形，
∴，
∴，
即直线总经过一个上定点，
∵，
∴，
过点作于，
则，
∴，
过点作交于点，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，设，
∴在中，，
则由勾股定理得，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴
化简得：，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定该与性质，旋转的性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)为定值，理由见解析．
【分析】（1）根据垂直定义可知，因为，可得，从而可得，所以可证结论成立；
（2）首先利用公理可证，根据全等三角形的性质可证，因为是的直径，所以，根据平面内垂直同一条直线的两条直线互相平行可证结论成立；
（3）根据正切的定义可得，根据平行线的性质可得，所以有，从而可得，根据正切的定义可证结论成立．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：如图，连接，，
、是的切线，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直径，
，
，
；
（3）解：为定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、切线的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）方法一：连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证；方法二：连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证；
（2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解．
【详解】（1）证明：方法一：如答图1，连接，
，
．
，
．
又，
．
．
．
为的切线．
方法二：如答图2，连接，
为的直径，
，
中，．
又，
．
，
．
．
，
，
，
．
即：．
为的切线；
（2）解：如答图3，连接，
，
．
又，
．
，
．
．
，为的直径．
．
．
设，
则．
．
，
即：，
．
．
在中，
．
的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆的基本性质及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆的基本性质及勾股定理是解题的关键．
15．(1)
(2)①见解析；（2）
【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形；
②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．