2025年中考数学二轮复习：图形的相似 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：图形的相似 提分刷题练习题（含答案解析），共35页。试卷主要包含了相似型，平行线平分线段成比例，相似三角形判定，相似三角形的相关证明计算，相似三角形实际应用等内容，欢迎下载使用。
一、相似型
1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）.
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换
2．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ ）
A．3B．3C．33D．33
二、平行线平分线段成比例
4．下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3，9，2，6B．1，3，2，6C．1，2，4，8D．1，2，3，9
5．点把 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．PBAP=5+12B．APPB=5−12C．PBAB=5−12D．APAB=5−12
6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ADBD=DEBCB．ADAB=AEACC．DFCF=AECED．DFBF=EFCF
7．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB：BC=2：3，EF=15，则DE的长是（ ）
A．8B．6C．4D．10
8．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为 ．
9．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，∠BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求证：OG=12CF.
三、相似三角形判定
10．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∼△ADE的是（ ）
A．∠C=∠EB．∠B=∠ADEC．ABAD=BCDED．ABAD=ACAE
12．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB=8，AD=3，AC=6，AE=4，求证：△ABC∼△AED.
13．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格， A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PDPA的值为 ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3；
②如图③，在BD上找一点P，使ΔAPB∽ΔCPD．
14．下列图形中，与如图所示的 △ ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
15．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
16．如图，△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连接AM.
求证：
（1）ΔABC∽ΔMEC；
（2）AM2=MD⋅ME.
四、相似三角形的相关证明计算
17．已知，如图， ABBD = BCBE = CAED ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
18．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB⋅AC=BD⋅CE．求证：△ABD∽△ECA．
19．在△ABC中．∠C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．

（1）图1，若∠AEF=∠BDF，求证：CDCE=ACBC；
（2）如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；
（3）如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E.
（1）求证：△AED∽△BEC；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CD2=DE•DB；
（3）在（2）小题的条件下，若DE=4，BE=2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF=2，求该圆的半径长.
21．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．
（1）求证：ADCD=ABBC；
（2）延长BD至点E，联结CE、AE，如果∠ACE=∠EBC，求证：AE=CE．
22．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在边AB上，CE2=BE⋅DE.
（1）求证：∠DCE=45°；
（2）当AC=3，AD=2BD时，求DE的长.
五、相似三角形实际应用
23．数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于B时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中错误的是（ ）
A．OAAB=OSBCB．OAOS=ABBCC．ACAS=BCOSD．OABC=ABOS
24．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计）
25．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米.
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG＝ 米.
（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若 DE：CE=5：1 ，则点G的上升高度为 米.
26．矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E．
（1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系： ；
（2）如图2，当AB≠BC时．求证： PAPE=BCAB
（3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝ 4541 时，直接写出线段BF的长．
27．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB=90°，AB=10，AC=6 ，正方形 DEFG 的顶点 D、G 分别在边 AC 、 BC 上， EF 在边 AB 上.
（1）点 C 到 AB 的距离为 .
（2）求 DE 的长.
28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，若BC=6cm，AD=4cm，则正方形EFGH的边长是 cm．
29．小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是 。
30．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G．
（1）求证：AB=4BG；
（2）连接AD，如果∠ADG＝∠B，求证：AC2=2CD2．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；图形的相似；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。
故答案为：B。
【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。
2．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，
∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，
∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，
矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，
∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，
故答案为：C．
【分析】对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得AB=a，AE=13AB=13a
∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴ADAB=AEAD
∴1a=13a1，
解得a=3或−3（舍去），
∴a=3，
故答案为：B．
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可。
4．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.2×9=3×6，不符合题意；
B.1×6=3×2，不符合题意；
C.1×8=2×4，不符合题意；
D.1×9≠2×3，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例，用各选项中最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的乘积，可得到不成比例的选项.
5．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段， AP 是 PB 和 AB 的比例中项，
∴ 根据线段黄金分割的定义得： APAB=5−12 ．
故答案为：D．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 5−12 叫做黄金比．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，故A错误；
∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，故B正确；
∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠BCF，
∵∠DFE=∠CFB，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DEBC，
由△ADE∽△ABC知AEAC=DEBC，
∴DFCF=AEAC，故C错误；
由△DEF∽△CBF知DFCF=EFBF，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断A；根据平行线分线段成比例的性质可判断B；由平行线的性质可得∠EDF=∠BCF，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可判断C、D.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB：BC=2：3，EF=15，
∴ABBC=DEEF，即DE15=23，
∴DE=10，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得ABBC=DEEF，代入数据计算即可.
8．【答案】14
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作DH∥CF交AB于点H，
∵EF∥DH，AF＝2，ED＝3AE，
∴AF：FH＝AE：ED＝ 1：3，
∴FH＝3AF＝3×2＝6，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∵DH∥CF，
∴BH=HF，
∴BH＝FH＝6，
∴AB＝AF+FH+HB＝2+6+6＝14．
故答案为：14．
【分析】过D点作DH∥CF交AB于点H，利用平行线分线段成比例定理得AF：FH＝AE：ED＝ 1：3，从而求得FH＝6，再利用AD为中线及DH∥CF推出BH=HF，从而得出BH＝6，再通过AB＝AF+FH+HB代入数据计算即可求解.
9．【答案】证明：过O作OP∥CF交AF于点P，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，且OP∥CF，
∴∠ABC=90°，AO=CO，∠OBC=∠POB=∠BAC=45°，
∵BD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=22.5°，
∴∠BFA=67.5°，
∵OP∥CF，
∴∠BFA=∠OPF=67.5°，
在△OGP中，
∠OGP=180°−45°−67.5°=67.5°
∴∠OGP=∠OPF，
∴OP=OG，
∵AO=CO，OP∥CF，
∴APPF=AOCO=1，
∴AP=PF，
∴OP=12CF，
∴OG=12CF，
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【分析】过点O作OP∥CF，交AF于点P，利用正方形的性质可证得∠ABC=90°，AO=CO，∠OBC=∠POB=∠BAC=45°，利用角平分线的定义可求出∠BAF及∠BFA的度数，利用平行线的性质可求出∠OPF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠OGP的度数，可证得∠OGP=∠OPF，利用等角对等边可得到OP=OG；利用平行线分线段成比例定理，可证得PA=PF，从而可证得结论.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
A、∵∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
C、∵∠BAC=∠DAE，ABAD=BCDE，
∴△ABC与△ADE不相似，故C符合题意；
D、∵∠BAC=∠DAE，ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】由∠1=∠2可证得∠BAC=∠DAE，要使△ABC∽△ADE，可以添加另外两组对应角中的一组对应角相等，可对A，B作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
12．【答案】证明：在 △ABC 和 △AED 中，
∵AB=8，AC=6，AE=4，AD=3
∴AEAB=48=2 ， ADAC=36=2 ，
∴AEAB=ADAC ，
∵∠BAC=∠EAD ，∴△ABC∼△AED .
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知边的长，可知AEAB=ADAC，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AED.
13．【答案】（1）13
（2）解：①如图2所示，
点P即为所要找的点；
②如图3所示，点P即为所要找的点，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴PDPA=CDAB=13，
故答案为13．
（2）在网格图中，AB=32+42=5
①如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
∴APBP=ADCB=32，AP5−AP=32
解得：AP=3
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
∴点P即为所要找的点.
【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质可得PDPA=CDAB，据此计算；
（2）①利用勾股定理可得AB，根据平行线分线段成比例的性质可得APBP=ADCB=APAD−CP=32，求出AP，据此解答；
②作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，则△APB∽△CPD.
14．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC=6，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=30°，
A、如图所示，DE=DF=5，
∴∠E=∠F=12(180∘−∠EDF)=52.5∘ ，
∴DEAB=DFAC=56 ，
∵∠A≠∠D ，
∴△ABC与△DEF不相似，故A选项不符合题意；
B、如图所示，DE=DF=EF=5，
∴∠E=∠F=∠D=60∘ ，
∴DEAB=DFAC=56 ，
∵∠A≠∠D ，
∴△ABC与△DEF不相似，故B选项不符合题意；
C、如图所示，DE=DF=5，
∴DEAB=DFAC=56 ，
∵∠A=∠D=30∘ ，
∴△ABC∽△DEF，故C选项符合题意；
D、如图所示，DE=DF=5，
∴∠E=∠F=12(180∘−∠EDF)=70∘ ，
∴DEAB=DFAC=56 ，
∵∠A≠∠D ，
∴△ABC与△DEF不相似，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=75°，利用内角和定理可得∠A=30°，根据等腰三角形的性质求出各个选项中三角形的顶角、底角，然后利用相似三角形的判定定理进行判断.
15．【答案】（1）证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得△ABP∽△PCD，
BPCD=ABPC，
∴1CD=32，
∴CD=23．
答：CD的长为23．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用“一线三等角”证明三角形相似即可；
（2）利用相似三角形的性质可得BPCD=ABPC，再将数据代入求出CD的长即可。
16．【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠BAC=∠EMC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△MEC；
（2）证明：∵△ABC∽△MEC，
∴∠E=∠B，
∵点M为直角△ABC斜边的中点，
∴MA=MB，
∴∠MAD=∠B，
∴∠E=∠MAD，
∵∠AMD=∠EMA，
∴△MAD∽△MEA.
∴AMME=MDAM，
∴AM2=MD⋅ME．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）先证明△MAD∽△MEA，可得AMME=MDAM，再化解可得AM2=MD⋅ME。
17．【答案】解：∵ABBD = BCBE = CAED ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵ABBD = BCBE ，
∴ABBC = BDBE ，
∴△ABD∽△CBE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断△ABC∽△DBE，得到∠ABC=∠DBE，则∠ABD=∠CBE，再利用比例性质由 ABBD = BCBE 得到 ABBC = BDBE ，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE．
18．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵AB⋅AC=BD⋅CE，
∴ABEC=BDCA，
∴△ABD∽△ECA．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠ABC=∠ACB=60°， 再求出 ∠ABD=∠ECA， 最后证明求解即可。
19．【答案】（1）证明：连接DE，
∵∠AEF=∠BDF，即∠AEB=∠BDA，
∴A、E、D、B四点共圆，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∵∠CED+∠AED=180°，
∴∠CED=∠ABD，
又∠C公共，
∴△CED∽△CBA，
∴CDCE=ACBC；
（2）证明：延长AD到G，使DG=AD，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∠BDG=∠CDA，
∴△BDG≌△CDA，
∴∠G=∠CAD，BG= CA，
∵AE=EF，
∴∠AFE=∠CAD，
∵∠AFE=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG=AC，即AC=BF；
（3）解：过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，如图：
∵AM∥BC，∠C=90°，MN⊥BC，
∴四边形AMNC是矩形，
又AM=AC，
∴四边形AMNC是正方形，
∴AM=MN=AC=CN，
∵BD=AC，则BD= CN，
∴BN= CD，
∵AE=CD，
∴AE= BN=CD，
∵AM=MN=AC，∠MAE=∠MNB=∠ACD=90°，
∴△MAE≌△MNB≌△ACD，
∴EM=MB=AD，∠AME=∠BMN，
∵∠NME+∠AME =90°，
∴∠NME+∠BMN=90°，即∠BME=90°，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，
∵AM∥BD，AM=CN=BD，
∴四边形AMBD是平行四边形，
∴∠AFE=∠MBE=45°，
∴∠AFE的度数为45°．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接DE，证明A、E、D、B四点共圆，推出∠CED=∠ABD，证明△CED∽△CBA，即可得出结论；
（2）延长AD到G，使DG=AD，证明△BDG≌△CDA，再利用等角对等边即可得出结论；
（3）过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，证明四边形AMNC是正方形，推出△MAE≌△MNB≌△ACD，再证明△MEB是等腰直角三角形，四边形AMBD是平行四边形，即可得出∠AFE的度数。
20．【答案】（1）证明：∵DC = DC ，
∴∠DAE=∠CBE，
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC；
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD = AD ，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠EDC=∠CDB，
∴△DEC∽△DCB，
∴CDDB=DECD ，
∴CD2=DB•DE；
（3）解：连接OD，如图：
∵DE=4，BE=2，
∴BD=6，
由（2）知CD2=DB•DE，
∴CD2=6×4=24，
∴CD=2 6 ，
∵OF⊥CD，
∴F是CD的中点，
∴DF= 12 CD= 6 ，
∵OF=2，
∴OD= OF2+DF2=22+(6)2=10 ，
即⊙O的半径是 10 .
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠DAE=∠CBE，根据对顶角的性质可得∠AED=∠BEC，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，由圆周角定理得∠ABD=∠ACD，则∠CBD=∠ACD，证明△DEC∽△DCB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）连接OD，则BD=6，由（2）知CD2=DB•DE，代入求出CD的值，根据垂径定理可得DF，然后利用勾股定理进行计算.
21．【答案】（1）证明：过点C作 CH∥AB 交 BD 的延长线于点H．
∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ．
∵CH∥AB ，∴∠ABD=∠H ，∴∠DBC=∠H ，∴BC=HC ．
∵CH∥AB ，∴ADCD=ABCH ．∴ADCD=ABBC ．
（2）证明：∵∠ABD=∠DBC ， ∠ACE=∠EBC ，
∴∠ABD=∠ACE ．
∵∠ADB=∠EDC ，∴△ABD ∽ △ECD ．
∴ADED=BDCD ．
∵∠ADE=∠BDC ，∴△ADE ∽ △BDC ．
∴∠EAD=∠DBC ，∴∠ACE=∠EAD ，∴AE=CE ．
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点C作CH∥AB交BD的延长线于点H，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DBC=∠H，从而得出BC=HC，根据平行线分线段成比例定理得出ADCD=ABCH，即可得出ADCD=ABBC；
（2）先证出△ABD∽△ECD，得出ADED=BDCD，从而证出△ADE∽△BDC，得出∠EAD=∠DBC，从而得出∠ACE=∠EAD，即可证出AE=CE.
22．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°
∵CE2=BE⋅DE
∴CEBE=DECE，
又∵∠DEC=∠CEB，
∴△DEC∽△CEB，
∴∠DCE=∠CBE=∠ABC=45°，
即∠DCE=45°；
（2）解：如图，过点D作DN⊥AC于点N，
∴∠AND=90°，
∵∠DAN=45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵DN∥BC，AD=2BD，
∴ADAB=ANAC=23
∵AC=3，
∴BC=AC=3，AB=32，AN=DN=2，CN=1，
∵AD=2BD，
∴BD=2，
在Rt△DCN中，DC=DN2+CN2=5，
由（1）可知△DEC∽△CEB
∴DECE=DCBC=53，
设DE=5x，CE=3x，
∴3x2+5x=53
解得：x=104，
∴DE=5x=524.
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAC=45°，由已知条件可得CE2=BE·DE，变形可得CEBE=DECE，证明△DEC∽△CEB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）过点D作DN⊥AC于点N，则△ADN是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例的性质可得
ADAB=ANAC=23，结合AC的值可得BC、AB、AN、DN、CN的值，由AD=2BD可得BD，根据勾股定理可得DC，设DE=5x，CE=3x，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，
∴SO⊥OA，
∵甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，
∴CB⊥AB，
∴∠SOA=∠ABC=90°，
∵视线起点C与点A，点S三点共线，
∴∠OAS=∠BAC，
∴ΔABC∽ΔAOS，
∴OAAB=OSBC=ASAC，
即OAAB=OSBC，OAOS=ABBC，ACAS=BCOS，故ABC不符合题意；
无法判断OABC=ABOS，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】证明ΔABC∽ΔAOS，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可.
24．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠CDE=∠ABE，
又∵∠CED=∠AEB，
∴△CDE∽△ABE，
∴ABCD=BEDE ，
即AB1.6=102，
解得AB=8米，
故树AB的高为8米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠CDE=∠ABE=90°，由已知条件可知∠CED=∠AEB，证明△CDE∽△ABE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
25．【答案】（1）4
（2）12+855
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，CF=DF=1.8米，
∴AF=AC2−CF2=2.4 ，
∵∠B+∠ACB=90°，∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAF ，
∵∠AFB=∠AFC=90° ，
∴△AFB∽△CFA ，
∴AFCF=BFAF ，
∴BF=2.42÷1.8=3.2 ，
∴AB=AF2+BF2=4 ，
∴AG的长为4米.
故答案为：4.
（2）∵DE：CE=5：1 ，
∴(3.6−CE)：CE=5：1 ，
∴CE=0.6 ，
∴EF=FC−CE=1.8−0.6=1.2 ，
∴在Rt△AEF中， AE=AF2+EF2=655 ，
sin∠AEF=AFAE=255 ，
∴EM=4+655 ，
∴MN=ME·sin∠AEF=(4+655)×255=12+855 ，
故点G上升的高度为 12+855 .
故答案为： 12+855 .
【分析】（1）连接AB，过A点作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质可得CF=DF=1.8米，利用勾股定理求出AF，根据同角的余角相等可得∠B=∠CAF，证明△AFB∽△CFA，根据相似三角形的性质可得BF，然后利用勾股定理进行计算；
（2）根据DE：CE=5：1可得CE=0.6，则EF=FC-CE=1.2，利用勾股定理求出AE，根据三角函数的概念可得MN，据此解答.
26．【答案】（1）PA＝PE
（2）解：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形MBNP是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∵PE⊥AP，
∴∠APE＝90°，
∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，
∴∠APM＝∠EPN，
∵∠AMP＝∠ENP＝90°，
∴△APM∽△EPN，
∴PAPE=PMPN
∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，
∴PMAD=BPBD ， PNCD=BPBD ，
∴PMAD=PNCD ，
∴PMPN=ADCD=BCAB
∴PAPE=BCAB
（3）线段BF的长为 4415 或 23641205
【知识点】全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；正方形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴PM＝PN，
∴四边形MBNP是正方形，
∴∠MPN＝90°，
∵PE⊥AP，
∴∠APE＝90°，
∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，
∴∠APM＝∠EPN，
在△APM和△EPN中， ∠APM=∠EPNPM=PN∠AMP=∠ENP=90° ，
∴△APM≌△EPN（ASA），
∴PA＝PE，
故答案为：PA＝PE；（3）连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，
①当P在O的右上方时，如图3所示：
由（2）得： PAPE=BCAB=108=54
∴PA＝ 54 PE＝ 54×4541=41
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，
∴BD＝ AB2+AD2=82+102=241
∵AO⊥BD，
∵△ABD的面积＝ 12BD×AO=12AB×AD
∴AO=AB×ADBD=8×10241=404141
∵tan∠ABD＝ AOBO=ADAB
∴404141BO=108
解得：BO＝ 324141
由勾股定理得：OP＝ PA2−AO2=(41)2−(404141)2=94141
∴BP＝BO+OP＝ 41
∵四边形APEF是矩形，
∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，
∴PF＝AE＝ PA2+PE2=(41)2+(4415)2=415
∵∠ABE＝90°，
∴QB＝ 12 AE＝QE，
∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，
∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，
∴∠PBF＝90°，
∴BF＝ PF2−BP2=(415)2−(41)2=4415
②当P在O的左下方时，如图4所示：
同理可得：AO＝ 404141 ，BO＝ 324141 ，OP＝ 94141 ，PF＝ 415 ，
则BP＝BO﹣OP＝ 234141 ，
同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，
∴∠PBF＝90°，
∴BF＝ PF2−BP2=(415)2−(234141)2=23641205
综上所述，当PE＝ 4541 时，线段BF的长为 4415 或 23641205 ．
故答案为： 4415 或 23641205
【分析】（1）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN，∠APM＝∠EPN，即可证得△APM≌△EPN，得到PA＝PE（2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根据矩形的性质可证得∠APM＝∠EPN，再证明△APM∽△EPN，得到 PAPE=PMPN 再证明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，得到相似比 PMAD=BPBD ， PNCD=BPBD ，即可得出 PAPE=BCAB （3）①当P在O的右上方时，由（2）得： PAPE=BCAB ，得PA长度，再求出BD、AO长度，因为tan∠ABD＝ AOBO=ADAB 可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根据四边形APEF是矩形，可求出PF＝AE长度，QB、QA，证得点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，即可求得BF．②当P在O的左下方时，用同样的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF．
27．【答案】（1）245
（2）解：如图，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M ，交 DG 于点 N ，
∵四边形 DEFG 是正方形，
∴DG//AB ，
∴MN=DE，CN⊥DG ，
∴ΔCDG∼ΔCAB ，
∴DG：AB=CN：CM .
设 DE=DG=x ，则 x：10=(245−x)：245 ，
解得 x=12037
∴DE 的长为 12037 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8
∴SΔABC = 12×6×8 =24
∴12×10×ℎ=24
∴点C到AB的距离是 245 .
【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.（2）根据正方形的性质，即可得出 DG//AB ，再根据相似三角形的判定可得出 ΔCDG∼ΔCAB ，进而得出 DG：AB=CN：CM ，设x得出方程进行求解即可.
28．【答案】125
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设AD交EH于点M，
∵四边形 EFGH 是正方形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴AMAD=EHBC ，即 4−EH4=EH6 ，
解得：EH= 125 ，
故答案为 125 .
【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式 AMAD=EHBC ，代入数值求解即可.
29．【答案】（4，0）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，OA=2米，OD=2米
△ABC中BC边上的高为2-0.8=1.2米，△ADE中DE边上的高为2米，
∵BC∥DE，BC=1.2米，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=1.22，即1.2DE=1.22，
∴DE=2米，
∴OE=OD+DE=4米，
∴E（4，0）
故答案为：（4，0）
【分析】根据平行线可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得BCDE=1.22，从而求出DE的长，即得OE的长，从而求出点E的坐标.
30．【答案】（1）证明：如图，∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，CD=2BD，
∵CF∥AB，
∴△ABE∼△FCE，
∴AB：CF=BE：CE=2，
即AB=2FC．
∵BG∥CF，
∴△BGD∽△CFD，
∴BG：CF=BD：CD=1：2，
∴BG=12CF=12×12AB=14AB，
即AB=4BG；
（2）证明：连接AD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∵∠ADC+∠ADG=∠B+∠BGD，
又∠ADG=∠B，
∴∠ADC=∠BGD，
∴△BDG∽△CAD，
∴BDAC=BGCD.
∵BD=12CD，BG=14AC，
∴AC2=2CD2.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明△BGD∽△CFD，可得BG：CF=BD：CD=1：2，再将数据代入求出BG=12CF=12×12AB=14AB，即可得到AB=4BG；
（2）连接AD，先证明△BDG∽△CAD，可得BDAC=BGCD，再结合BD=12CD，BG=14AC，可得AC2=2CD2。