卷21 与圆有关的计算及圆的综合题（解析版+原卷版）-【冲刺2025】中考一轮总复习2024中考真题分类提优测试卷

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一．选择题（共10小题）
1．（2024•青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
【分析】根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E=(5−2)×180°5=108°，
∵四边形CDFG为正方形，
∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．
2．（2024•绵阳）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE，点H在BE上运动，点G为EF的中点，当△AGH的周长最小时，AH+GH＝（ ）
A．23B．13C．12D．13
【分析】要使△AGH的周长最小时，AH+GH最小，利用正六边形的性质可得点G关于BE的对称点为点G′，连接AG′交BE于点H'，连接AE，H′G，那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，
要使△AGH的周长的最小，即AH+HG最小，
利用正六边形的性质可得点G关于BE的对称点为点G′，连接AG′交BE于点H'，连接AE，H′G，
那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小，
∵∠F＝120°，AF＝EF＝2，
∴AE＝23，
∵∠AEG′＝90°，EG′=12DE＝1，
∴AG′=12+(23)2=13，
故当△AGH的周长最小时，AH+GH=13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及轴对称﹣最短路线问题，得出H′点位置是解题关键．
3．（2024•雅安）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（ ）
A．4B．43C．6D．63
【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：设半径为r，由题意得，2πr＝8π，
解得r＝4，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴弦AB所对应的弦心距为32OA＝23，
∴S△AOB=12×4×23=43．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
4．（2024•贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则AB的长为（ ）
A．30πB．25πC．20πD．10π
【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．
【解答】解：因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以AB的长为：150⋅π⋅24180=20π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
5．（2024•包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（ ）
A．π6B．π3C．π2D．π
【分析】连接BC，根据垂直平分线的性质得BC＝OB，可得△OBC是等边三角形，求出∠AOC＝20°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵OD＝DC，BD⊥OC，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOC＝20°，
∴AC的长为20π×3180=π3．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，关键是根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质求出圆心角的度数．
6．（2024•绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为4π3，则扇形的圆心角大小为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】依据题意，根据弧长公式进行代入计算即可得解．
【解答】解：由题意，∵弧长=nπr180=43π，且r＝2，
∴n＝120°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，解题时要能熟练掌握并能准确计算是关键．
7．（2024•泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．43π−3B．43πC．23π−3D．43π−34
【分析】连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出AB=3，S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′=2π3−3，再根据S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB=12OO′＝1，
∴AB=22−12=3，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′
=60π×22360−2×3×12
=2π3−3，
∴S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O
=2π3−3+2π3
=4π3−3．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
8．（2024•日照）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
【分析】过O作ON⊥AD，OM⊥CD，证明△ONH≌△OMG，故四边形HOGD面积＝2△OMD面积，再计算即可．
【解答】解：过O作ON⊥AD，OM⊥CD，连接OD．
∵∠ADC+∠HOG＝180°，
∴∠NHO+∠DGO＝180°，
∵∠DGO+∠MGO＝180°，
∴∠NHO＝∠MGO．
∵菱形ABCD，
∴DO平分∠ADC，
∴OM＝ON．
在△ONH和△OMG中，
∠NHO=∠OGM∠ONH=∠OMGOM=ON，
∴△ONH≌△OMG（AAS），
∴△ONH面积＝△OMG面积，
∴四边形HOGD面积＝四边形NOMD面积＝2△OMD面积，
∵∠ODC＝60°，
∴OD=12CD＝1，OC=3OD=3．
∴DM=12OD=12，
∴OM=3DM=123，
∴四边形HOGD面积＝2△OMD面积＝2×12×12×123=34，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形HOGD面积=60°360°×π×（3）2−34=π2−34，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理，掌握菱形的性质是解题关键．
9．（2024•无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．
10．（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（ ）
A．3118πB．118πC．26πD．263π
【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为72π×5180=2π，
故圆锥的底面圆的半径为2π2π=1，
所以圆锥的高为：52−12=26，
该圆锥的体积是：13×π×12×26=263π．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．
二．填空题（共8小题）
11．（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 22 ．
【分析】根据正八边形的性质求出∠AOB＝45°，根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，由三角形的面积的计算方法可求出△AOB的面积，进而得到正八边形的面积即可．
【解答】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°8=45°，
在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°，
∴AM=22OA=22，
∴正八边形的面积为8S△AOB＝8×12×1×22=22，
即可估计π的近似值为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
12．（2024•苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ 8π ．（结果保留π）
【分析】根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出AB所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧AB的长，再计算AB长的6倍即可．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BM=12AB=3，
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
∴∠AOB=360°6=60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵点O是△AOB的内心，
∴∠CAB＝∠CBA=12×60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°，
在Rt△ACM中，AM=3，∠CAM＝30°，
∴AC=AMcs30°=2，
∴AB的长为120π×2180=43π，
∴花窗的周长为43π×6＝8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．
13．（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 3 ．
【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠E=(6−2)×180°6=120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE=180°−120°2=30°，
∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，
∴BM=32AB＝33，
∴BF＝2BM＝63，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
2πr=60π×63180，
解得r=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
14．（2024•镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则BE的长l＝ 13π （结果保留π）．
【分析】由平行四边形的性质推出∠B＝∠D＝60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE＝60°，由弧长公式即可求出BE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
由题意得：AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝1，
∴l=60π×1180=13π．
故答案为：13π．
【点评】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE＝60°．
15．（2024•临夏州）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为 2π3 （结果保留π）．
【分析】由对折可知，∠EOM＝∠FOM，过点E作OM的垂线，进而可求出∠EOM的度数，则可得出∠EOF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【解答】解：由对折可知，
四边形AOMD是矩形，∠EOM＝∠FOM，
则OM＝AD，DM=12CD．
过点E作OM的垂线，垂足为P，
则EP＝DM=12CD．
因为OE＝OM＝AD，CD＝AD，
所以EP=12OE．
在Rt△EOP中，
sin∠EOP=EPOE=12，
所以∠EOP＝30°，
则∠EOF＝30°×2＝60°，
所以EF的长度为：60⋅π⋅2180=2π3．
故答案为：2π3．
【点评】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
16．（2024•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为 3+23π ．
【分析】如图，连接AF、EF、由题意易知△AEF是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AF、EF．
由题意易知△AEF是等边三角形，
S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF
＝2π−60π⋅22360−（60π⋅22360−12×2×32×2）
=3+23π．
故答案为：3+23π．
【点评】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
17．（2024•南通）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 12π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12πcm2．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
18．（2024•呼和浩特）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 40 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 2 cm．
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理计算∠NMC，再根据“弧CN的长度等于圆锥底的周长”及弧长公式和圆的周长公式计算这个圆锥的底面圆半径即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°，
∵∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝20°，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝20°，
∵点M为BC的中点，
∴BM＝MC，
∵以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，
∴MN＝MC，
∴BM＝MC＝MN，
∴点B、C、N在以点M为圆心的圆上，
∴∠NMC＝2∠DBC＝40°，
∵MC=12BC＝18cm，
∴弧CN的长度为2π•MC•40360=4π，
设这个圆锥的底面圆半径为r cm，
则2πr＝4π，
解得r＝2，
∴这个圆锥的底面圆半径为2cm．
故答案为：40，2．
【点评】本题考查圆锥的计算、展开图折叠成几何体、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理及弧长公式、圆的周长公式是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
19．（2024•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA=2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用圆周角定理，垂直的定义和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接OC，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，利用垂径定理，矩形的判定与性质得到OF＝AF，则△AFO为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得AF＝FO＝1，再利用阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD解答即可．
【解答】（1）证明：∵C是BD的中点，
∴CD=BC，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FD=12AD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FO=22OA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴S△OAD=12OA•OD=12×2×2=1，
S扇形OAD=90π×(2)2360=π2，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD=π2−1．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆的切线的判定定理，圆的有关计算，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
20．（2024•德州）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是AO2B上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP．
（1）求证：∠ACB＝2∠P；
（2）若∠P＝30°，AB=23．
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AO2BO2，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AO2B＝2∠P；
（2）①连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，得到∠AO2B＝2∠P＝60°，根据三角函数的定义得到结论；
②连接O2O1交AB于H，根据垂径定理得到AH=12AB=3，O2H⊥AB，根据直角三角形的性质得到HO1=33AH＝1，AO1＝2，求得O2H＝3，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AO2BO2，
∵AB=AB，
∴∠ACB＝∠AO2B＝2∠P；
（2）解：①连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD，
则∠ABD＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AO2B＝2∠P＝60°，
∴∠D＝∠AO2B＝60°，
∵AB＝23，
∴AD=ABsin60°=2332=4，
∴⊙O1的半为2；
②连接O2O1交AB于H，
∴AH=12AB=3，O2H⊥AB，
∴HO1=33AH＝1，AO1＝2，
∴O2H＝3，
在⊙O2中，弓形AB＝扇形AO2B﹣△AO2B=60π×(23)2360−12×23×3=2π﹣33，
在⊙O1中，弓形AB＝扇形AO1B﹣△AO1B=120π×22360−12×23×1=43π−3，
∴图中阴影部分的面积＝（43π−3）﹣2π+33=23−23π．
【点评】本题是圆的综合题，考查了相交两圆的性质，圆周角定理，等边三角形的性质，三角形的面积的计算，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2024•广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）求证：AF与⊙O相切；
（3）若tan∠BAC=34，BC＝12，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质得到DC＝AF，∠EDC＝∠F，利用内错角相等两直线平行的性质得到BC∥AF，利用线段中点的定义得到BD＝AF，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形的性质解答即可得出结论；
（2）连接AD，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AD垂直平分BC，利用（1）的结论得到DA⊥AF，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接OB，OC，OD，利用等腰三角形的 三线合一的性质得到OD⊥BC，∠BOD=12∠BOC，利用圆周角定理得到∠BOD＝∠BAC，则tan∠BOD=BDOD=34，求得OD后再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD＝DC，AE＝EC，
在△EDC和△EFA中，
EC=AE∠DEC=∠FEADE=FE，
∴△EDC≌△EFA（SAS），
∴DC＝AF，∠EDC＝∠F，
∴BC∥AF，BD＝AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AD经过圆心O，
由（1）知：AF∥BC，
∴DA⊥AF，
∵OA为⊙O半径，
∴AF与⊙O相切；
（3）解：连接OB，OC，OD，如图，
∵OB＝OC，BD＝CD=12BC＝6，
∴OD⊥BC，∠BOD=12∠BOC，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOD＝∠BAC．
∵tan∠BAC=34，
∴tan∠BOD=34，
∵tan∠BOD=BDOD，
∴BDOD=34，
∴OD＝8，
∴OB=BD2+OD2=10，
∴⊙O的半径为10．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的切线的判定定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
22．（2024•河北）已知⊙O的半径为3，弦MN＝25．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝32．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧AN的长；
（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到BC的距离为d．
①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
【分析】（1）如图，连接OA，OB，先证明△AOB 为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式 可得答案；
（2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，证明四边形BIOH是矩形，可得BH＝OI，BI＝OH，再结合勾股定理可得答案；
（3）①如图，由过点A的切线与AC垂直，可得AC过圆心，过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB 于K，而∠ABC＝90°，可得四边形KO．JB为矩形，可得 OJ＝KB，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；
②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J，OL＞OJ，此时OI最短，如图，过A作AQ⊥OB于Q，而AB＝AO＝3，证明BQ＝OQ＝1，求解AQ=32−12=22，再结合等角的三角函数可得答案．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵⊙O的半径为3，AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴AN 的长为60π×3180=π，
∴劣弧AN的长为π；
（2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图：
∵OA∥MN，
∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，
∴四边形BIOH是矩形，
∴BH＝OI，BI＝OH，
∵MN=25，OH⊥MN，
∴MH=NH=5，
而OM＝3，
∴OH=OM2−MH2=2=BI，
∴点B到OA的距离为2；
∵AB＝3，BI⊥OA，
∴AI=AB2−BI2=5，
∴OI=OA−AI=3−5=BH，
∴x=BN=BH+NH=3−5+5=3；
（3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图：
∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直，
∴AC过圆心，
∴四边形KOJB为矩形，
∴OJ＝KB，
∵AB＝3，BC=32，
∴AC=AB2+BC2=33，
∴cs∠BAC=ABAC=333=13=AKAO，
∴AK=3，
∴OJ=BK=3−3，即 d=3−3；
②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J，
∵∠OJL＞90°，
∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小，
过A作AQ⊥OB于Q，
∵B为MN中点，
∴OB⊥MN，
同（2）可得OB＝2，
∴BQ＝OQ＝1，
∴AQ=32−12=22，
∵∠ABC＝90°＝∠AQB，
∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ，
∴∠OBJ＝∠BAQ，
∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ，
∴OJBJ=BQAQ=122，
设OJ＝m，则 BJ=22m，
∵OJ2+BJ2＝OB2，
∴m2+(22m)2=22，
解得：m=23 （m的负值已舍去），
∴OJ的最小值为 23，即d的最小值为23．
【点评】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用：锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23．（2024•日照）如图1，AB为⊙O的直径，AB＝12，C是⊙O上异于A，B的任一点，连接AC，BC，过点A作射线AD⊥AC，D为射线AD上一点，连接CD．
【特例感知】
（1）若BC＝6，则AC＝ 63 ；
（2）若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC＝∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=3，连接OD．
（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；
（4）求OD长度的取值范围．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC长即可；
（2）根据AD⊥AC，推导出AD∥BC，由∠ADC＝∠B和等角的余角相等推出AB∥CD，根据平行四边形定义可证明；
（3）连接OC，先求出∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，利用解直角三角形求出CD，再利用勾股定理求出OD长即可；
（4）过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF，可证△CAF∽△DAO，继而得到FC=3OD，利用勾股定理求出OF、OC，再根据|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC求出CF的范围，继而得到OD的长度范围．
【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=AB2−BC2=122−62=63，
故答案为：63；
（2）证明：∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝∠BCA＝90°，
∴AD∥BC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ADC=3，
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，
如图2，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
又∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝∠ACD＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝AB•sin30°＝6，
在Rt△ACD中，CD=ACcs30°=43，
∴在Rt△COD中，OD=CD2+OC2=62+(43)2=221；
（4）解：如图3，过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF，
在Rt△AOF中，AF＝OA•tan60°=3OA，
∵tan∠ADC=3，
∴AC=3AD，
∵AF=3OA，
∴ACAD=AFOA=3，
∵∠DAC＝∠OAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAO＝∠OAF+∠CAO，即∠DAO＝∠CAF，
∴△CAF∽△DAO，
∴FCOD=ACAD=3，即FC=3OD，
在Rt△AOF中，
∵OA=6，AF=3OA=63，
∴OF=OA2+AF2=12，
又∵|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC，
∴6≤CF≤18，
∴23≤OD≤63．
【点评】本题考查了圆的综合，熟练掌握切线性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质、解直角三角形是关键．
24．（2024•扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在AB同侧时，延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到DE＝2DF＝2CD•sin12α，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝BE，则结论可得；②当点C、D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，利用①的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝30°，
∴CD＝BD=12AD，
∴AD﹣BD＝CD．
故答案为：AD﹣BD＝CD；
（2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB向侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由：
延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝60°，
∵DE＝CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADC∠E＝60°．
在△ACD和△BCE中，
∠ACD=∠BCECD=CE∠ADC=∠E，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AD＝BD+CD，
∴AD﹣BD＝CD．
（3）①当点C、D在AB同侧时，
延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°−12α，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°−12α，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝90°−12α，∠DCE＝α．
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF=12α，DF＝EF＝CD•sin12α，
∴DE＝2DF＝2CD•sin12α，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°−12α，
∴∠ADC＝∠E．
在△ACD和△BCE中，
∠ACD=∠BCECD=CE∠ADC=∠E，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+2CD•sin12α，
∴AD﹣BD＝2CD•sin12α．
②当点C、D在AB两侧时，
延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°−12α，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CBE＝∠DAC，
在△CAD和△CBE中，
CA=CB∠CAD=∠CBEAD=BE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°−12α，
∴∠E＝90°−12α，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF=12α，DF＝EF＝CD•sin12α，
∴12DE＝CD•sin12α，
∴DE＝2CD•sin12α，
∵DE＝BD+BE＝AD+BD，
∴AD+BD＝2CD•sin12α．
综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD•sin12α；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD•sin12α．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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题号
1
2
3
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5
6
7
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答案
B
B
B
C
B
D
A
A
B
D