卷23 图形的相似（相似三角形）（解析版+原卷版）-【冲刺2025】中考一轮总复习2024中考真题分类提优测试卷

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一．选择题（共10小题）
1．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8）B．（8，﹣4）C．（﹣8，4）D．（4，﹣8）
【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故选：A．
【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
2．（2024•德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3B．5：4C．4：3D．2：1
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5x，根据相似三角形的性质得到AD=95x，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴BEDF=ABAD，
∴BFDF=ABAD=3x95x=53，
方法二：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，过FH⊥AB于H，
∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC，
∴FH＝FD，
∵sin∠ABD=FHBF=ADAB，
∴BFDF=ABAD=53．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2024•绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．（9，4）B．（4，9）C．（1，32）D．（1，23）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比13缩小，点B的坐标为（3，2），
∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3×13，2×13），即（1，23），
故选：D．
【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误
【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出∠DHE=∠DEH=12(180°−2α)=90°−α，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可．
【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，
∴DH＝DE，∠HDE＝2α，
当点E落在边AC上时，如图：
∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α，
∴∠CED＝α＝∠C，
∴DE＝CD，
∴DH＝CD，
∴D为CH的中点，
故小明的说法是正确的；
连接AE，HE，
∵DH＝DE，∠HDE＝2α，
∴∠DHE=∠DEH=12(180°−2α)=90°−α，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHD＝90°，
∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，
∴点E在射线HE上运动，
∴当AE⊥HE时，AE的长最小，
∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°，
又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE，
∴△AEH∽△AHB，AEAH=AHAB，
∴AH2＝AB•AE，
故小丽的说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键．
5．（2024•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF4=14，
∴EF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．（2024•巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为30°，再利用特殊角的三角函数值结合相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似，
所以360°÷12＝30°，
即直角三角形中较小的锐角为30°．
在Rt△OAB中，
cs∠AOB=OAOB，
因为∠AOB＝30°，
所以OAOB=32，
同理可得，
OBOC=32，OCOD=32，ODOE=32，OEOF=32，OFOG=32，
所以OAOG=(32)6=2764．
又因为OA＝1，
所以OG=6427．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键．
7．（2024•威海）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若CECF=ADAB，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断A；根据题意可得四边形CA是∠BCD的角平分线，进而判断四边形ABCD是菱形，证明Rt△ACE≌Rt△AFC可得CE＝CF，则AC垂直平分EF，即可判断B选项；证明四边形ABCD是菱形，即可判断C选项；D选项给的条件，如图，存在AE′＝AE＝AF，据此，即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
A．若CECF=ADAB，即CECF=BCCD，
又∵∠ECF＝∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF＝∠CBD，
∴EF∥BD，
故A选项正确；
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，
∴CA是∠BCD的角平分线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ACE和Rt△AFC中，
AE=AFAC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL），
∴CE＝CF，
又∵AE＝AF，
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD，
故B选项正确；
C．∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵EF∥BD，
∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∵CE＝CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE＝AF，
∴∠EAC＝∠FAC，
故C选项正确；
D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，
如图，当AE＝AF时，
存在AE′＝AE＝AF，此时，EF不一定平行于BD，
故D选项不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理．
8．（2024•南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（ ）
A．5−12B．5−22C．5−1D．5−2
【分析】令AB的长为2a，根据题中所给作图步骤，可得出BC的长为a，再用勾股定理表示出AC的长，进而可得出AD（即AE）的长，据此可解决问题．
【解答】解：令AB的长为2a，
则BC=12AB=a，
在Rt△ABC中，
AC=(2a)2+a2=5a．
因为CD＝CB，AE＝AD，
所以AE=(5−1)a，
则AE=5−12AB，
所以m的值为5−12．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割，能用含a的代数式表示AE及AB的长是解题的关键．
9．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①CFBF=32；
②tan∠H=3−1；
③BE平分∠CBD；
④2AB2＝DE•DH．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】通过证明△DCF∽△HBF，可得DCBH=CFBF=22，故①错误；由tanH=DAAH=2−1，故②错误；由正方形的性质可得AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，可得DE＝BE，由角的数量关系可求∠CBE＝∠DBE，即BE平分∠CBD，故③正确；通过证明△DEB∽△DBH，可得2AB2＝DE•DH，故④正确；即可求解．
【解答】解：设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，BD=2a＝BH，
∴△DCF∽△HBF，
∴DCBH=CFBF=a2a=22，故①错误；
∵tanH=DAAH=aa+2a，
∴tanH=2−1，故②错误；
∵BD＝BH，
∴∠H＝∠BDH，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠H，
∴∠CDE＝∠BDE＝∠H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴BE平分∠CBD，故③正确；
∵∠BDE＝∠BDE，∠EDB＝∠H＝∠DBE，
∴△DEB∽△DBH，
∴DEDB=DBDH，
∴DB2＝DE•DH，
∴2AB2＝DE•DH，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．（2024•泸州）宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（ ）
A．55B．12C．35D．255
【分析】设AD＝BC＝（5−1）a，AB＝CD＝2a，再根据翻折的性质及等角对等边得出EC＝EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE即可．
【解答】解：由题知，
令AD＝BC＝（5−1）a，AB＝CD＝2a，
由翻折可知，
∠EAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
令DE＝x，
则AE＝EC＝2a﹣x，
在Rt△ADE中，
[（5−1）a]2+x2＝（2a﹣x）2，
解得x=5−12a，
∴DE=5−12a，AE＝2a−5−12a=5−52a．
在Rt△DAE中，
sin∠DAE=DEAE=5−12a5−52a=55．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2024•辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 12 ．
【分析】根据AB∥CD，得出△AOB和△DOC相似，从而得出ABDC=12，由此得出CD的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴S△AOBS△DOC=(ABDC)2=14，
∴ABDC=12，
∵AB＝6，
∴6DC=12，
∴DC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（2024•扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 20 cm．
【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则ABA′B′=3624=30x，
解得：x＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
13．（2024•乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= 19 .
【分析】先根据两平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ABDS△BCD=ADBC=13，再证明△AOD∽△COB，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴S△ABDS△BCD=ADBC=13，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AODS△BOC=（ADBC）2＝（13）2=19．
故答案为：19．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．也考查了梯形的性质．
14．（2024•重庆）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ 3 ．
【分析】由平行线的等分线段定理推出AF＝EF，由三角形中位线定理推出DE＝2CF＝2，得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC，求出BC＝4，即可得到BF的长．
【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，
∴AF＝EF，
∴CF是△ADE的中位线，
∴DE＝2CF＝2，
∵DE＝DC，
∴AC＝2CF＝2，
∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，
∴△CAF∽△CBA，
∴AC：BC＝CF：AC，
∴2：BC＝1：2，
∴BC＝4，
∴BF＝BC﹣FC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角形中位线定理得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC．
15．（2024•眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 475 ．
【分析】先根据菱形的性质得到AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，则∠DCE＝60°，再在Rt△DCE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到CE＝3，DE＝33，接着在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE＝37，然后证明△AFD∽△EFB，利用相似比和比例的性质计算出AF=675，同样方法计算出AG＝27，最后计算AG﹣AF即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴CE=12CD＝3，
∴DE=3CE＝33，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝180°﹣∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，AE=DE2+AD2=(33)2+62=37，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴AFFE=ADBE=69=23，
∴AF=25AE=25×37=675，
∵AD∥CE，
∴△AGD∽△EGC，
∴AGEG=ADCE=63=2，
∴AG=23AE=23×37=27，
∴FG＝AG﹣AF＝27−675=475．
故答案为：475．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了菱形的性质．
16．（2024•苏州）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 103 ．
【分析】设AD＝x，AE=5x，根据折叠性质得DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，证明△AHE∽△ACB，得到EHBC=AHAC=AEAB，进而得到EH＝x，AH＝2x，证明Rt△EHD是等腰直角三角形，得到∠HDE＝∠HED＝45°，可得∠FDM＝90°，证明△FDM≌△EHM（AAS），得到DM=MH=12x，则CM=AC−AD−DM=10−32x，根据三角形的面积公式结合已知可得(10−32x)−x=2(25−5x)，然后解一元二次方程求解x的值即可．
【解答】解：∵AE=5AD，
∴设AD＝x，AE=5x，
∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，
∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，
过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，
则∠AHE＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AHE∽△ACB，
∴EHBC=AHAC=AEAB，
∵CB＝5，CA＝10，AB=AC2+BC2=102+52=55，
∴EH5=AH10=5x55，
∴EH＝x，AH=AE2−EH2=2x，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，
∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，
∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，
在△FDM和△EHM中，
∠FDM=∠EHM=90°∠DMF=∠HMEDF=EH，
∴△FDM≌△EHM（AAS），
∴DM=MH=12x，CM=AC−AD−DM=10−32x，
∴S△CEF=S△CME+S△CMF=12CM⋅EH+12CM⋅DF=12(10−32x)⋅x×2=(10−32x)⋅x，
S△BEC=S△ABC−S△AEC=12×10×5−12×10⋅x=25﹣5x，
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，
∴(10−32x)⋅x=2(25−5x)，
则3x2﹣40x+100＝0，
解得x1=103，x2＝10（舍去），
则AD=103，
故答案为：103．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键．
17．（2024•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN=2DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝210；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE=2BC．其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【分析】如图1，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，证明△PGN≌△ADM（ASA），则AM＝PN，可判断①的正误；如图2，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，证明△ABF≌△CBF（SAS），则AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，由∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，可得∠BAF＝∠FPC，PF＝CF＝AF，FN＝FM，证明△HFN≌△DFM（SAS），则HN＝DM，由勾股定理得，DH=DF2+HF2=2DF，由DH＝HN+DN＝DM+DN，可得DM+DN=2DF，可判断②的正误；如图3，连接AP，由勾股定理得，AP=AB2+BP2=352，AP=PF2+AF2=2PF=352，可求PF=3104，设CE＝x，则PE=32+x，BE＝3+x，由勾股定理得，AE=AB2+BE2=32+(3+x)2，由sin∠E=PFPE=ABAE，可得310432+x=332+(3+x)2，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，可求满足要求的解为x＝6，则AE=310，BE＝9，由cs∠E=CEEM=BEAE，可得6EM=9310，可求EM=210，可判断③的正误；由题意知，∠BPF＞90°，△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，可判断④的正误；由设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，PM=PCcs45°=2a，证明△AFN≌△PFM（SAS），则AN=PM=2a，证明△AMD∽△EDC，则ADCE=DMCM，即bc=b−aa，可求a=bcb+c，同理，△ANF∽△EPF，则ANPE=FNPF，即2aa+c=FNPF，同理，△DMF∽△BAF，则DMAB=FMAF=FNPF，即b−ab=FNPF，可得b−ab=2aa+c，将a=bcb+c代入b−ab=2aa+c得，b−bcb+cb=2bcb+cbcb+c+c，整理得，2b+2c=2b+c，可得，cb=2，则CE=2BC，可判断⑤的正误．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，
如图，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，
∴PG＝AB＝AD，
∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，
∴∠GPN＝∠DAM，
又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，
∴△PGN≌△ADM（ASA），
∴AM＝PN，①正确，故符合要求；
如图，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，
∴∠DHF＝45°＝∠ADB，
∴DF＝HF，
∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，
∴∠BAF＝∠FPC，
∴∠BCF＝∠FPC，
∴PF＝CF＝AF，
∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM，
∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，
∴∠HFN＝∠DFM，
∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM，
∴△HFN≌△DFM（SAS），
∴HN＝DM，
由勾股定理得，DH=DF2+HF2=2DF，
∵DH＝HN+DN＝DM+DN，
∴DM+DN=2DF，②正确，故符合要求；
∵P是BC中点，AB＝3，
∴BP=CP=32，
如图，连接AP，
由勾股定理得，AP=AB2+BP2=352，AP=PF2+AF2=2PF=352，
解得，PF=3104，
设CE＝x，则PE=32+x，BE＝3+x，
由勾股定理得，AE=AB2+BE2=32+(3+x)2，
∵sin∠E=PFPE=ABAE，
∴310432+x=332+(3+x)2，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，
解得，x＝6或x＝﹣4（舍去），
∴AE=310，BE＝9，
∵cs∠E=CEEM=BEAE，
∴6EM=9310，
解得，EM=210，③正确，故符合要求；
由题意知，∠BPF＞90°，
∴△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，④错误，故不符合要求；
∵PM∥BD，
∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°，
设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，PM=PCcs45°=2a，
∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM，
∴△AFN≌△PFM（SAS），
∴AN=PM=2a，
∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，
∴△AMD∽△EDC，
∴ADCE=DMCM，即bc=b−aa，
解得，a=bcb+c，
同理，△ANF∽△EPF，
∴ANPE=FNPF，即2aa+c=FNPF，
同理，△DMF∽△BAF，
∴DMAB=FMAF=FNPF，即b−ab=FNPF，
∴b−ab=2aa+c，
将a=bcb+c代入b−ab=2aa+c得，b−bcb+cb=2bcb+cbcb+c+c，整理得，2b+2c=2b+c，
解得，cb=2，
∴CE=2BC，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ 2 ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 y=3x28−2x ．
【分析】易得CD∥PQ，则△APQ∽△ADC，得出AQAC=PQCD，代入数据即可求出CD＝2；根据△APQ∽△ADC，得出CD=2yx，设DE＝t，则AP＝2t，通过证明△CDE∽△BAE，得出CDAB=DEAE，则AE=3xt2y，进而得出AD=AE+DE=t(3x+2y)2y，结合△APQ∽△ADC，可得AQAC=APAD，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式．
【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CD∥PQ，
∴△APQ∽△ADC，
∴AQAC=PQCD，即x2=yCD，
∵x＝y，
∴CD＝2；
∵△APQ∽△ADC，
∴AQAC=PQCD，即x2=yCD，
整理得：CD=2yx，
设DE＝t，
∵AP＝2ED，
∴AP＝2t，
∵CM∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴CDAB=DEAE，即2yx3=tAE，
整理得：AE=3xt2y，
∴AD=AE+DE=3xt2y+t=t(3x+2y)2y，
∵△APQ∽△ADC，
∴AQAC=APAD，即x2=2tt(3x+2y)2y，
整理得：y=3x28−2x，
故答案为：2，y=3x28−2x．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
三．解答题（共6小题）
19．（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE•DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=12BD，求证：CE＝AD．
【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BAD，
∴ADBA=DEAD，
∴AD2＝DE•BA，
∵AB＝DC，
∴AD2＝DE•DC；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵矩形ABCD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=12BD，
∴EF=CF=12BD，
∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
在△ODA和△FEC中，
∠ODA=∠FEC∠OAD=∠FCEOD=FE，
∴△ODA≌△FEC（AAS），
∴CE＝AD．
【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．
20．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出EGGF的值．
【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似；
（2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，证△AME≌△BFE（AAS），再证△MFH≌△BDC（SAS）即可得证；
（3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，AF=5a，证FE垂直平分AB得到AF＝BF=5a，再证△EGH∽△FGB即可求解．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，
∴BEAB=12，BFBC=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴BECD=BFBC，
∵∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，
∴△AME≌△BFE（AAS），
∴AM＝BF，
∵AD＝2CF，CF＝DH，
∴AH＝DH＝CF，
∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，
∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，
∴△MFH≌△BDC（SAS），
∴∠AMF＝∠CBD，
又∵∠AMF＝∠BFG，
∴∠CBD＝∠BFG，
∴BG＝FG；
方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，
∵E是AB中点，H是BD中点，
∴EH=12AD，EH∥AD，
∵AD＝2CF，
∴EH＝CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB＝∠GFB，
∵∠BCD＝90°，H是BD中点，
∴CH=12BD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，
∴BG＝FG；
（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，
∵AD＝2CF，
∴AM＝DM＝CF，
设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，
∴AF=AM2+MF2=5a，
∵AG＝FG，BG＝FG，
∴AG＝BG，
∵E是AB中点，
∴FE垂直平分AB，
∴BF＝AF=5a，
∵H是BD中点，
∴EH是△ABD中位线，
∴EH=12AD＝a，EH∥AD∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴EGGF=EHBF=a5a=55．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键．
21．（2024•甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算DECF的值；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求CEBD的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．
【分析】（1）如图1，设DE与CF交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，根据余角的性质得到∠CFD＝∠AED，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，根据矩形的性质得到∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，求得∠CDG＝60°，得到CE=CDcs30°=233CD，BD＝2CD，于是得到CEBD=233CD2CD=33；
（3）如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，根据矩形的判定定理得到四边形ABCH为矩形，根据矩形的性质得到AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论．
【解答】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴DECF=1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDG＝60°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE=CDcs30°=233CD，BD＝2CD，
∴CEBD=233CD2CD=33；
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE•AB＝CF•AD．
【点评】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
22．（2024•资阳）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．
【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得到ABBC=BDAB，得出AB2＝BD•BC；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，证明△BED∽△BAD，得出BEBD=BDAB，即BE2=21+13，解得：BE=13−13；
（3）连接BD，证明△DFG∽△CFB，得出FGBF=DGBC，即FG45−FG=65，解得：FG=24511．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2＝BD•BC；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
则∠AFC＝∠AGD＝90°，
∴DF∥DG，∠BAC＝60°，
∴CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cs60°=2×12=1，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=12BC=2，
∵DF∥DG，
∴△BDG∽△BCF，
∴DGCF=BGBF=BDBC=12，
∴DG=12CF=32，
∴BG=BD2−DG2=22−(32)2=132，
∴BF=2BG=13，
∴AB=AF+BF=1+13，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠AED＝∠CAD，
∴∠AED＝∠CDA，
∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠BED＝∠ADB，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BED∽△BAD，
∴BEBD=BDAB，即BE2=21+13，
解得：BE=13−13；
（3）解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，
∵∠ABC＝2∠EBF，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，
∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠G，
∴∠DBE＝∠G，
∵∠DEB＝∠BEG，
∴△BED∽△GEB，
∴DEBE=BEEG，
∵DG＝6，
∴EG＝DE+6，
∴DE4=4DE+6，
解得：DE＝2，负值舍去，
∴EG＝2+6＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝3，
∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°，
∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：BG=BE2+EG2=42+82=45，
∴BF=BG−FG=45−FG，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴FGBF=DGBC，
即FG45−FG=65，
解得：FG=24511．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
23．（2024•湖北）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；
（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．
【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴DP＝CP=12×2=1，
设EP＝AE＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得x=53，
∴EP＝AP＝x=53，
∴ED＝AD﹣AE=43，
∵△EDP∽△PCH，
∴EDPC=EPPH，即431=53PH，
∴PH=54，
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG﹣PH=34．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴HP=12PM=32y，
在Rt△PCH中，CH=PH2−PC2=52y，
∴BC＝2CH=5y，
∴AD＝BC=5y，
在Rt△APD中，AP=AD2+PD2=6y，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴BGAP=BMAM=13，
∴BG=63y，
∴ABBG=2y63y=6，
∴AB=6BG．
【点评】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
24．（2024•临夏州）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF．
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
（2）若AB＝2，AD＝3，DF=12BF，求DE的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF，求AFAD的值．
【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝90°，而∠ABE＝∠DAF，所以∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝90°，则AF⊥BE；
（2）延长AF交CD于点G，由GD∥AB，证明△GDF∽△ABF，则GDAB=DFBF=12，求得GD=12AB＝1，由AEAB=tan∠ABE＝tan∠DAG=GDAD=13，求得AE=13AB=23，则DE＝AD﹣AE=73；
（3）延长AF交CD于点H，由正方形的性质得AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB＝AD＝2m，可证明△HDF∽△ABF，得HFAF=HDAB=DFBF=12，则HD=12AB＝m，求得AH=AD2+HD2=5m，则AF=23AH=253m，求得AFAD=53．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF=12BF，AB＝2，AD＝3，
∴GDAB=DFBF=12，
∴GD=12AB=12×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴AEAB=tan∠ABE＝tan∠DAG=GDAD=13，
∴AE=13AB=13×2=23，
∴DE＝AD﹣AE＝3−23=73，
∴DE的长是73．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF=12BF，
∴HFAF=HDAB=DFBF=12，
∴HD=12AB=12×2m＝m，
∴AH=AD2+HD2=(2m)2+m2=5m，
∴AF=21+2AH=23AH=23×5m=253m，
∴AFAD=253m2m=53，
∴AFAD的值为53．
【点评】此题重点考查矩形的性质，正方形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数与解直角三角形，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
C
D
A
B
A