卷19 圆的基本性质（解析版+原卷版）-【冲刺2025】中考一轮总复习2024中考真题分类提优测试卷

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1．（2024•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．42C．5D．52
【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA=AE2+OE2=42+42=42．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024•新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴DE=12CD=4．
在Rt△DOE中，
OE=52−42=3，
∴BE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
3．（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2024•台湾）如图，AC、BD皆为半圆，AC与BD相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若CE=58°，则BE的度数为何？（ ）
A．58B．60C．62D．64
【分析】连接BE、DE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠EBC＝58°，根据直角三角形的性质求出∠EDB，进而求出BE的度数．
【解答】解：如图，连接BE、DE，
∵B为AC的中点，
∴AC为左边半圆的直径，
∵CE的度数为58°，
∴∠EBC＝58°，
∵BD是右边圆的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣58°＝32°，
∴BE的度数为：32°×2＝64°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，熟记直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
5．（2024•重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
【分析】根据∠D的度数，结合圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据垂径定理得出∠AOB的度数，最后利用等边对等角即可解决问题．
【解答】解：∵∠D＝28°，
∴∠BOC＝2∠D＝56°．
∵OC⊥AB，
∴点C为AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠AOB＝2×56°＝112°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA=12×(180°−112°)=34°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
6．（2024•云南）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC＝36°，则∠D＝（ ）
A．9°B．18°C．36°D．45°
【分析】先连接AD，根据在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等证明∠ADC＝∠BDC，最后根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：连接AD，
∵AC=BC，
∴∠ADC＝∠BDC=12∠AOC=12×36°=18°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题关键是识别图形，利用圆周角定理找出角与角之间的关系．
7．（2024•赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
【分析】根据垂径定理得AC=BC，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D=12∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D=12∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
8．（2024•牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．（2024•临夏州）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．110°
【分析】由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
【解答】解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD＝2∠E．
10．（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可．
【解答】解：连接OB、OC、OP．
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD＝180°，
∵AB=BC=CD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB、△BOC均是等边三角形，
∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°，
∵OC＝OP，
∴△COP是等腰三角形，
∵∠PCB＝130°，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°，
∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠PBC=12∠COP=12×40°＝20°，
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2024•江西）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 2−3或2+3或2 ．
【分析】根据DE≤AB，可得DE＝1或2，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，
当DE＝2时，即DE为直径，
∴DE⊥AB，
∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB＝2；
当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，
此时OD=12AB=1，
∵DE⊥AB，
∴DC=12DE=12，
∴OC=OD2−DC2=32，
∴BC=OB−OC=2−32，
∴BF=2BC=2−3；
当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
同理可得BC=2+32，
∴BF=2BC=2+3；
综上，可得线段FB的长为2−3或2+3或2，
故答案为：2−3或2+3或2．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
12．（2024•连云港）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 90 °．
【分析】根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【解答】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=12×180°=90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
13．（2024•巴中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据圆周角定理得到∠D=12∠AOC，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
由圆周角定理得：∠D=12∠AOC，
∵四边形ABCO为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC+12∠AOC＝180°，
解得：∠AOC＝120°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．（2024•西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，AB=BC，∠ADE＝110°，则∠DAB＝ 125° ．
【分析】根据圆的性质和圆内接四边形的性质，可以求得∠DAB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图所示，
∵∠ADE＝110°，∠ADE+∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∴∠AOD＝40°，
∴∠AOC＝140°，
∵AB=BC，
∴∠AOB＝∠BOC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝55°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB＝180°，
∴∠DAB＝125°，
故答案为：125°．
【点评】本题考查圆内接四边形、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用圆内接四边形的性质解答．
15．（2024•青海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 130° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．（2024•滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝ 60 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，根据圆周角定理得到∠D=12∠AOC，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC+∠D＝180°，
由圆周角定理得：∠D=12∠AOC，
∴∠D＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17．（2024•牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 310 ．
【分析】由垂径定理得CE=ED=12CD=3，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴CE=ED=12CD=3，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=CE2+AE2=32+92=310，
故答案为：310．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（2024•长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG=142；
④当BD=2AD，AB＝6时，△DFG的面积是3，
上述结论中，正确结论的序号有 ①②③ ．
【分析】①根据点D是AC弧的中点得AD弧＝CD弧，由此可对结论①进行判断；
②先证明∠ADE＝∠DAC得AF＝FD，再证明∠BDE＝∠AGD得FD＝FG，由此可对结论②进行判断；
③在Rt△ADG中tan∠DAC=DGAD=2AD，在Rt△ABD中tan∠ABD=ADBD=AD5，再根据∠ABD＝∠DAC得AD2＝10，然后由勾股定理得AG=14，再由结论②正确可对结论③进行判断；
④先证明点D，C为半圆弧上的三等分点，则∠ABD＝∠DAC＝30°，由此得AD＝3，DG=3，进而得S△ADG=12AD•DG=332，然后根据AF＝FG得S△DFG=12S△ADG=334，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD＝∠DAC，
故结论①正确；
②∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AF＝FD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°，
又∵∠ADE＝∠DAC，
∴∠BDE＝∠AGD，
∴FD＝FG，
∴AF＝FG，
故结论②正确；
③∵DG＝2，GB＝3，
∴BD＝DG+GB＝5，
在Rt△ADG中，tan∠DAC=DGAD=2AD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD=AD5，
∵∠ABD＝∠DAC，
∴AD5=2AD，
∴AD2＝10，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG=AD2+DG2=14，
∴AF＝FG=12AG=142，
故结论③正确；
④∵点D是AC的中点，BD=2AD，
∴AD=DC=CB，
即点D，C为半圆弧上的三等分点，
∴∠ABD＝∠DAC＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD=ADAB，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×sin30°＝3，
在Rt△ADG中，tan∠DAC=DGAD，
∴DG＝AD•tan∠DAC＝3×tan30°＝√3，
∴S△ADG=12AD•DG=12×3×3=332，
∵AF＝FG，
∴S△DFG=12S△ADG=334，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，灵活运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
19．（2024•宣城一模）如图，在⊙O中，直径MN＝10，正方形BCDA的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，求正方形ABCD的边长．
【分析】连接AO，先根据正方形的性质得出△DCO是等腰直角三角形，进而得出DC＝CO，即可得出BO＝2AB；接下来在Rt△ABO中运用勾股定理求出AB的值即可．
【解答】解：连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，即AB2+（2AB）2＝52，
∴AB=5．
【点评】本题主要是正方形的性质以及圆的认识问题，直接求解比较困难，考虑作辅助线进行求解．
20．（2024•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，DE=BD，DF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：AE＝AG；
（2）若BH＝3，BD＝5，求EF的长．
【分析】（1）由垂径定理得BD=BF，AD=AF，FH＝DH，根据DE=BD得∠F＝∠BDF，则EF∥BD，进而得∠AGE＝∠B，再根据弧AD＝弧AF可得∠B＝∠E，则∠AGE＝∠E，由此可得出结论；
（2）连接AD交EF于M，连接OD，设⊙O的半径为r，先求出FH＝DH＝4，r=256，则AB=253，证明△FHG和△DHB全等得FG＝BD＝5，GH＝BH＝3，则AG=73，再根据AD⊥BD，EF∥BD及（1）的结论得AE＝AG，则GE＝2GM，证明△AGM∽△ABD得GM=75，由此可得EF的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，且DF⊥AB于点H，
∴BD=BF，AD=AF，FH＝DH，
∵DE=BD，
∵DE=BD=BF，
∴∠F＝∠BDF，
∴EF∥BD，
∴∠AGE＝∠B，
∵AD=AF，
∴∠B＝∠E，
∴∠AGE＝∠E，
∴AE＝AG；
（2）连接AD交EF于M，连接OD，设⊙O的半径为r，如图所示：

∴OB＝OA＝OD＝r，AB＝2r，
∵DF⊥AB，BH＝3，BD＝5，
∴在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH=BD2−BH2=4，
∴FH＝DH＝4，
∴在Rt△ODH中，OD＝r，OH＝OB﹣BH＝r﹣3，DH＝4，
由勾股定理得：OD2＝OH2+DH2，
即r2＝（r﹣3）2+42，
解得：r=256，
∴AB＝2r=253，
在△FHG和△DHB中，
∠F=∠BDFFH=DH∠FHG=∠DHB=90°，
∴△FHG≌△DHB（ASA），
∴FG＝BD＝5，GH＝BH＝3，
∴AG＝AB﹣GH﹣BH=253−3−3=73，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
又∵EF∥BD，
∴AD⊥EF，
由（1）的结论得：AE＝AG，
∴GM＝EM，即GE＝2GM，
∵EF∥BD，
∴△AGM∽△ABD，
∴GM：BD＝AG：AB，
即GM：5=73：253，
∴GM=75，
∴GE＝2GM=145，
∴EF＝GE+FG=145+5=395．
【点评】此题主要考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
21．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解答】（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，
∵DG∥BC，
∴BD=CG，
∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键．
22．（2024•包头）如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE=5，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【分析】（1）如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．首先证明∠CEB＝90°，由勾股定理求出BC，再根据cs∠OBH=BHOB=EBBC，构建关系式求出OB即可；
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，利用全等三角形的性质证明∠COE＝∠OBD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，证明cs∠COE＝cs∠OBK，推出∠COE＝∠OBK，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH，
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠BOH＝∠BCE，
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴BC=EC2+EB2=5+1=6，
∴CH＝BH=62，
∵cs∠OBH=BHOB=EBBC，
∴62OB=16，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵cs∠COE=OEOC，cs∠OBK=BKOB，OC＝OB，
∴cs∠COE＝cs∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（2024•台湾）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．
这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接．A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）GF的长度为多少公分？
（2）判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由．
【分析】（1）由EF＝大圆的半径﹣小圆的半径，可求得EF＝60公分，再根据中点性质即可求得答案；
（2）根据AB为大圆的直径可得AB＝160公分，再根据勾股定理可得CG＝DG＝1089公分，进而可得CD＝2089公分，比较160与2089的大小，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
∴EF＝大圆的半径﹣小圆的半径＝80﹣20＝60（公分），
∵G为EF中点，
∴GF=12EF＝30公分；
答：GF的长度为30公分．
（2）CD＞AB，理由如下：
由题意得：AB＝大圆的直径＝80×2＝160（公分），
如图3，延长CH、EF交于点O，延长DK、FE交于点O′，则OC＝OE＝O′D＝O′F＝80公分，
∵EG＝GF＝30公分，
∴OG＝O′G＝50公分，
∵∠O＝∠O′＝90°，
∴CG=OC2+OG2=802+502=1089=DG，
∴CD＝CG+DG＝2089公分，
∵89＞8，
∴2089＞160，
即CD＞AB．
【点评】本题考查了圆的性质，勾股定理，中点性质等，难度适中，构造直角三角形是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
B
B
B
B
D
B