江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量 ，，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：C
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由、，结合已知即可求.
【详解】∵，
∴.
故选：C
3. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量计算公式，可得答案.
【详解】在上的投影向量.
故选：C.
4. 在中，若，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦两角和差公式即可判断三角形的形状.
【详解】由于，故，从而.
所以是直角三角形，
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和差的正弦公式求出，，再结合同角三角函数的基本关系变形求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
解得，，
由同角三角函数的基本关系得，
，故D正确.
故选：D
6. 一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30 分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（ ）海里
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作图，利用正弦和角公式与正弦定理，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
在中，，，，
，
由正弦定理可得，则.
故选：A.
7. 如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】因为，,
在中，.
故选：B
8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可.
【详解】在中，因为，
所以，，所以
因为，
由正弦定理得,
所以，即，
所以,
由，解得
所以，
所以的范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列化简结果是的选项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】逆用两角和与差的正弦公式计算可判断A；逆用二倍角的正弦公式可判断B；逆用两角和与差的正弦公式结合诱导公式计算可判断C；与对比可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
.
对于D，，故D不正确.
故选：AB.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 在中，是的充要条件
B. 在中，角所对的边分别为，若，则
C. 在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为
D. 在中，，则为锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理，可得判定A正确；结合正弦定理求得，的有两种情况可判定B错误；由正弦定理可得求得的取值范围为，可判断C正确；由正弦定理得，结合余弦定理得，可判断D错误.
【详解】对于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，则，所以A正确；
对于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正确；
对于C，在中，，若三角形有两解，则即故C正确；
对于D，在中，，由正弦定理得，则，根据余弦定理知,所以是钝角，故D不正确.
故选：AC.
11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B 若，则
C.
D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.
【详解】对于A，设，因为则，
，
由共线，得解得，所以，故A正确；
对于B，由得，
所以
所以，故B不正确；
对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时，
，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据得到，再利用夹角公式求解即可.
【详解】，解得，
所以.
故答案为：
13. ________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可.
【详解】
.
故答案为：2
14. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ________；的最小值为________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题可知，设，化简得出，根据平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，且，

由重心的几何性质可知，
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
因为，，则，，
则，
因为、不共线，所以，，，则，，
故，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若向量，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由向量数量积定义与运算律，可得答案；
（2）由向量数量积的运算律，根据垂直向量的数量积为零，可得答案.
【小问1详解】
，
，
所以.
小问2详解】
由，则，
即，
，即，
或.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算得解.
（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算得解.
（3）由（1）及已知求出，再确定角的范围即可.
【小问1详解】
由，得.
【小问2详解】
由（1）得.
【小问3详解】
依题意，，
由，，得，，而，则，
所以.
17. 如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可.
（3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：.
【小问2详解】
因为，
所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得.
【小问3详解】
在中，，，所以，
在中，由正弦定理
可得，，
所以，
.
18. 已知函数．
（1）求的周期及在上的值域；
（2）已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长．
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再求周期和值域即可.
（2）首先根据题意得到，根据面积公式得到，利用余弦定理得到，再根据求解即可.
【小问1详解】
，
因为，所以，所以，
所以在上的值域.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，所以，，
又，所以，即，
因，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
因为为边上的中线，所以，
所以，
所以.
即边上的中线的长为
19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”， 求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
【答案】（1）①；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解；
②由三角形面积公式及向量数量积求解；
（2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解；
【小问1详解】
①在 中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
.
【小问2详解】
由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，，
由点为的“点”，得，
设， ，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，所以实数的最小值为.