江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，解得.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴.
故选：C.
3. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在上的投影向量.
故选：C.
4. 在中，若，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】由于，
故，从而.
所以是直角三角形.
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，
解得，，
由同角三角函数基本关系得，故D正确.
故选：D.
6. 一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30 分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（ ）海里
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可作图如下：
在中，，，，
，
由正弦定理可得，则.
故选：A.
7. 如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
在中，.
故选：B.
8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，因为，
所以，，所以，
因为，
由正弦定理得，
所以，即，
所以，，
，
由，解得，
所以，，
所以的范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列化简结果是的选项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
.
对于D，，故D不正确.
故选：AB.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 在中，是的充要条件
B. 在中，角所对边分别为，若，则
C. 在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为
D. 在中，，则为锐角三角形
【答案】AC
【解析】对于A中，在中，由得，可得，
可得，反之，由得，即，则，所以A正确；
对于B中，在中，，由正弦定理知，
即，得或.故B不正确；
对于C，在中，，若三角形有两解，则即故C正确；
对于D，在中，，由正弦定理得，
则，根据余弦定理知，所以是钝角，故D不正确.
故选：AC.
11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，设，因为
则，
，
由共线，得解得，所以，故A正确；
对于B，由得，
所以，
所以，故B不正确；
对于C，由知是的中点，所以，，又，
所以，所以，，故C正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，
当时，，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角余弦值为________．
【答案】
【解析】，
解得，
所以.
13. ________．
【答案】2
【解析】
.
14. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ________；的最小值为________．
【答案】
【解析】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，
且，
由重心的几何性质可知，
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
因为，，则，，
则，
因为、不共线，所以，，，则，，
故，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若向量，求实数的值．
解：（1），
，
所以.
（2）由，则，
即，
，即，
或.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）由，
得.
（2）由（1）得.
（3）依题意，，
由，，得，，而，
则，所以.
17. 如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）求的面积.
解：（1）在中，，，，
由余弦定理可得：.
（2）因为，
所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得.
（3）在中，，，所以，
在中，由正弦定理
可得，，
所以，
18. 已知函数．
（1）求的周期及在上的值域；
（2）已知锐角中，，且的面积为，，求边上的中线的长．
解：（1），
，
因为，所以，所以，
所以在上的值域.
（2）因为为锐角三角形，所以，，
又，所以，即，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
因为为边上的中线，所以，
所以，
所以.
即边上的中线的长为.
19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”，求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
解：（1）①在中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，
由得，
整理得，
所以.
（2）由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由，得，由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，
所以实数的最小值为.