江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2024-2025学年高一下学期3月学情调研 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2024-2025学年高一下学期3月学情调研 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 已知，则， 下列等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025.3
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知，是夹角为两个单位向量，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的定义计算可得.
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以.
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.
【详解】，
故选B.
【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.
3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选:D.
4. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】因为，，其中，的夹角为，
所以在上的投影向量为，
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解.
【详解】.
故选：.
6. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.
【详解】因为扇形的周长为，面积为，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数是2
故选：B
7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】设与的夹角为，由向量数量积的定义可得当在方向上的投影最小时即可求解.
【详解】设与的夹角为，所以，
因为表示在方向上的投影，
当点与点重合时，最小，
此时，，
所以的最小值是.
故选：.
8. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出.
详解】已知，可得：，，
可得：，得：，
因为，所以，，等式两边同时除以和可得：
，上式可化为：，
又因为，代入上式可得： ，
令，则，，代入可得：
，
因为，所以，则.
根据均值不等式对于有：，
当且仅当，即，时等号成立.
所以，即当时，取得最大值.
因为，且，所以.
当取得最大值时，角.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用二倍角公式判断A、B，利用和差角公式判断C、D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：CD
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 直线是图象的一条对称轴D. 能使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的图象，先求得的解析式，然后逐项判断.
详解】由，得，则，
因为函数的图象过点，所以，
则，又，则，故A错误；
又函数的图象过点，则，解得，故B正确；
所以，而，
所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；
由，得，
因为函数的最小正周期为，
所以在上的值域，与在上的值域相同，
则，故D正确；
故选：BCD.
11. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. D. 当时，与的夹角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先求出，再根据所给定义及数量积的运算律、夹角公式计算可得.
【详解】依题意，
对于A：因为，所以，
所以
，故A正确；
对于B：当时，则，
所以
，
所以与不垂直，故B错误；
对于C：，
所以
，
所以当时取得最小值，且，故C正确；
对于D：由C可知，
当时，，
所以，
设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与向量平行的单位向量的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】设单位向量坐标为，根据向量共线公式及求模公式，化简计算，即可得答案.
【详解】设与向量平行的单位向量的坐标为，
由题意得，解得或，
故答案为：
13. 已知，是方程的两根，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 已知角，满足，，且，.则________；________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意，利用两角差的正弦公式求，先求得，再根据的范围求解.
【详解】因为角，满足，，且，.
所以，，
所以，
，
因为，所以，
则，
所以，
，
因为，且，
所以，则，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为第一象限的角，终边经过点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义求解；
（2）由（1）得到，代入求解
【小问1详解】
因为为第一象限的角，终边经过点，且，
所以，解得，
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
.
16. 已知向量，，.
（1）当，求x，y；
（2），且，求向量与的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量相等构造方程求得；
（2）先利用平面向量共线的坐标表示求解向量，再利用向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
依题意，
即，解得
所以.
【小问2详解】
由向量，，所以
由，得，解得，
所以，
所以，
所以，又，所以.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，且，求的值.
（3）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1）最小正周期为；单调增区间
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解；
（2）由已知可得，根据的范围和同角三角函数的基本关系可得，由两角差的正弦函数求解即可；
（3）由可得，根据三角恒等变换结合三角函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，
最小正周期为，
令，，
所以，，
所以函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
，
因为，所以，
所以
所以
；
【小问3详解】
因为，所以，
因为，所以，
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
18. 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.
（1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.
（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设，求的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长到，使，连接，根据三角形的边角关系即可证明；
（2）①由已知当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解；②先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知.
【小问1详解】
延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
【小问2详解】
①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，
所以的取值范围为；
②设，由①知，
，，
，
设，
因为，所以，
又，
所以，
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
【答案】（1）最大值为，的取值集合为
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可；
（2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可；
（3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
【小问2详解】
，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
【小问3详解】
因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.