江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式可得，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，
所以原式
.
故选：C.
2. 已知，是两个不共线的向量，，，且，则实数t的值为（ ）
A. B. C. 6D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理求解作答.
【详解】，是两个不共线的向量，，，而，
则存在实数，使得，即，
因此，解得，
所以实数t值为.
故选：A
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 6B. 4C. -6D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.
【详解】因为，，，所以，，
则．
故选：C.
4. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为是的中点，
所以，
所以．
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：A
6. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解.
【详解】由题知，，
则，
，
则.
故选：A
7. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
8. 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量数量积的坐标运算、两角和与差的余弦公式以及“余弦距离”的定义可得出，再由可得出、的值，再结合“余弦距离”的定义可求得、的余弦距离.
【详解】由，，，
，
，
由已知，可得，①
又因为，②
联立①②可得，，
因此，、的余弦距离为，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分．有选错的得0分．
9. 已知，，下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由同角三角函数平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案.
【详解】A选项，由，得，故A正确；
B选项，由，得，
因为，所以，
又，其中，
若，则，则，与矛盾，
所以，故B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，由及，得，
故，故D正确．
故选：ACD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 向量，能作为平面内的一组基底
C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】把平方，由数量积的运算与性质判断A，确定是否共线判断B，根据投影向量的定义求出投影向量判断C，根据向量的加减法法则（作出相应的图形）判断D．
【详解】A．由得，即，
所以，是非零向量，因此它们共线且反向，A正确；
B．由于，它们共线，不能作为平面的基底，B正确；
C．向量在向量上的投影是，与向量同向的单位向量为，
因此所求投影向量为，C错误；
D．如图，，，作平行四边形，
则，，
由得是等边三角形，四边形是菱形，
所以，D正确；
故选：ABD．
11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可.
【详解】对A：由是重心可得，
所以，故A项错误；
对B：过的外心分别作，
的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则
，故B项正确；
对C：因为是的重心，所以有，
故，
由欧拉线定理可得，故C项正确：
对D：如图(2)，由于，可得，
所以，故D正确．
故选:BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用两个向量夹角公式以及数量积的定义即可得到结果.
【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以，
所以，则与的夹角为.
故答案为：.
13 计算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式和正切函数的和角公式，化简即可求得值．
【详解】根据诱导公式和正切的和角公式，化简得

【点睛】本题考查了正切函数的和角公式及三角函数诱导公式的简单应用，属于基础题．
14. 在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则______；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以为基底，表示，可得，.再结合平面向量基本定理，表示出，利用数量积的概念和二次函数在给定区间上的值域求其最小值.
【详解】如图：
因为，所以，，所以.
因为在线段上，可设，.
所以，
.
所以
因为，，
所以，.
所以当时，取得最小值，为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）k＝
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；
（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【小问1详解】
，
因为，所以，
解得：.
【小问2详解】
若与的夹角是钝角，
则且与方向不相反，
即，且
解得：且，
故实数k的取值范围是.
16. （1）计算：；
（2）定义运算，若，，，求的值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）根据结合两家和差公式运算求解；
（2）由已知可得出，根据，利用两角差的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】（1）因为，
整理可得，
所以；
（2）由题意可得，
因为，则，
所以，，
因为，则，
可得
，
所以.
17. 如图，两座建筑物AB、CD的高度分别是9米和15米，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角．求这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．
【答案】米
【解析】
【分析】设米，求得，利用余弦定理列方程来求得.
【详解】设米，则，
在三角形中，由余弦定理得：
，
整理得，解得或（此时，舍去），
所以的长为米.
18. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案；
（2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
因为是边边上中线，，所以.
又是的中点，，
所以.
因为三点共线，所以且
所以，即为定值；
【小问2详解】
由（1）
所以
，
当且仅当,即时，等号成立.
所以时，的最小值.
19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域.
【小问1详解】
因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以
，
即.
【小问3详解】
因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可.