江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二下学期期中调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二下学期期中调研数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 17B. 19C. 21D. 23
【答案】C
【解析】由等差数列片段和的性质有是等差数列，
所以，可得.
故选：C
2. 直线被圆C：截得的弦长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由圆方程可知圆心坐标，半径为2，
圆心到直线的距离为：，
所以弦长为，
故选：D
3. 已知随机变量的分布列如下表，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：
，解得.
故选：A.
4. 已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A.B. C. D.
【答案】D
【解析】由图知上，上且仅有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
故选：D
5. 展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的展开式通项为，
因为，
在中，令，系数为；
在，
令可得，系数为.
综上所述，展开式中的系数为.
故选：B.
6. 已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. 与负相关
B. 在处的残差为
C. 经验回归直线过点
D. 变量每增加一个单位，实际值一定增加个单位
【答案】C
【解析】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以与正相关，A错；
对于B选项，当处的残差为，B错；
对于C选项，，则，
故经验回归直线过点，C对；
对于D选项，变量每增加一个单位，实际值增加个单位左右，D错.
故选：C.
7. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】由题意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，则乙的名次有种情况，
由于甲不是第一名，则甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四个位次之一，有种，
再将其余四位同学的名次进行排序即可，
所以，第一名到第六名的排列种数为种.
故选：B.
8. 已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为,过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点.设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（ ）
A. －4B. C. 4D.
【答案】A
【解析】如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点，
则，
又，所以，所以．
所以，
设直线的倾斜角为，则由内切圆的性质可得，
在中，
所以；
因为双曲线的离心率，所以
同理可得，所以；
所以，故选：A．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量和满足，且，则
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，随机变量和满足，且，
则，A错；
对于B选项，随机变量，，
则，B对；
对于C选项，因为随机变量，则，C对；
对于D选项，在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，
所以，D错.
故选：BC.
10. 某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（ ）
A. 连续投篮两次都投中的概率为
B. 连续投篮两次都未投中的概率为
C. 第二次投篮投中的概率为
D. 若他第二次投中，则他第一次投中的概率为
【答案】ACD
【解析】设事件：第一次投篮投中，事件：第二次投篮投中，
则，，，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
故C正确；
对于D，由条件概率得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列的前n项和为,为数列的前n项积,满足,给出下列四个结论，正确的是（ ）
A.
B. 为等比数列
C.
D. 数列的最大项的值为
【答案】ACD
【解析】因为，所以，即
，故A正确；
因为为数列的前n项积，故，
所以，
故，又
故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，易知不为等比数列，故B不正确；
，故C正确；
令，
解不等式组，得，
当时，，
当时，，
所以数列的最大项的值为，D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.若平面的一个法向量,平面的一个法向量,且,则x＋z＝________．
【答案】-1
【解析】因为，所以，故存在实数使得：，
即，
所以，解得，所以.
故答案为：
13. 在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有________种．
【答案】72
【解析】第一个节目是舞蹈类节目，则有种不同演出顺序；
第一个节目是独唱类节目，则有种不同演出顺序；
故一共有：种不同演出顺序，
故答案为：72.
14. 一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是________，摸球次数的期望是________．
【答案】；6
【解析】摸球次数为3的概率为.
由题知摸球次数可取2，3，4，5，6，7，8，
，，，
，，
，，
，
故答案为：①② 6
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下：
（1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数；
（2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关?
附：经验回归方程为，其中．
，其中．
解：（1）由表中的数据知，，，
，
，，，
不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为，
当x＝8时，，
所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55.
（2）零假设：服务满意度与性别无关，
由表中的数据得，
所以有99%的把握认为满意度与性别有关.
16. 已知函数， ．
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围．
解：（1）定义域为，，
令得，令得，
所以的增区间为，
减区间．
（2）法1： 因为，所以，
即，
令，
因为在单调递增且．
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故当时，，
所以．
法2：构造，分类讨论，，
求 的最小值大于等于0.
17. 如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图，取的中点，连接、，
因为、均为边长为的正三角形，
所以，，且，
同理可得，
又因为，故，所以，
又因，、平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
由得，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P．
（i）若的面积是1，求直线l的斜率；
（ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率．
解：（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得，
所以椭圆方程为.
（2）（i）由点，得线段AE的方程为，设，
由的面积是1，得，而，
解得，，即点，又点.所以直线l的斜率.
（ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点，
由的面积与的面积之比为，
得，而，则，
又点均在第一象限，因此，
由，解得，即，
则，，而，
因此，整理得，解得，
所以直线l的斜率为.
19. 五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品.
（1）求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率；
（2）求小明连续抛掷骰子次，累计得分为分的概率，，；（结果用和表示）
（3）求小明连续抛掷若干次，累计得分为分的概率．（结果用表示）
解：（1）由题知小明得2分的概率为，小明得1分的概率为．记事件“小明参与3次掷骰子游戏，累计得分为4分”为A，则前3次中有2次得1分，1次得2分，
所以．
（2）记事件“小明参与次掷骰子游戏，累计得分为分”为B，则前次中有次得1分，次得2分，
所以．
（3）设小明在掷若干次后，累计得分刚好为n分的概率为Pn，
则，，
且当n≥3时，累计得分刚好为n分可分为以下两种情况：
①累计得分刚好为n－2分，然后再得2分，概率为，
②累计得分刚好为n－1分，然后再得1分，概率为，
所以，
法1．，且，
所以，
所以，…，，
累加得
，
所以．
法2．，
所以是常数列，，
所以，，
所以，
所以．
X
2
3
5
P
a
b
2b－a
月份x
1
2
3
4
5
不满意的人数y
120
105
100
95
80
满意
不满意
合计
女客户
48
12
男客户
22
18
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
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10.828