江苏省常州市第一中学2024−2025学年高一下学期3月质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省常州市第一中学2024−2025学年高一下学期3月质量检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．1
2．已知，均为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a2 +b2-c2=ab,则C=
A．B．C．D．
4．已知，点为斜边的中点，，，，则等于（ ）
A．-14B．-9C．9D．14
5．已知，则（ ）
A．2B．2或C．D．2或3
6．在中，，点E在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．的最大值为3
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的值域为
C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象关于轴对称
D．若方程在上恰有一个根，则的取值范围为
11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．在中，角所对的边分别为，且，则 ．
14．在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设是不共线的两个非零向量.
(1)若与共线，求实数k的值.
(2)已知向量满足求；
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若.
（i）求的值：
（ii）求的值.
17．已知，其图象一个对称轴为，
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)若函数在区间上有零点，求m的取值范围；
(3)若在上最小值为1，求使不等式成立的x的取值集合．
18．如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记
(1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.
(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.
19．三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
(1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值.
(2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为向量，
所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，均为锐角，且，，
所以，，
所以.
故选C．
3．【答案】B
【解析】根据余弦定理得到角C的余弦值，进而得到角C.
【详解】
故角
故答案为B.
4．【答案】D
【详解】依据题意作出如下图象：
因为，所以三点共线．
.
又
所以
故选D
5．【答案】D
【详解】因为，所以，
即，所以，
化简得，解得2或3.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
则
，
因为三点共线，所以，解得.
故选C.
7．【答案】A
【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是.
【详解】设外接圆圆心为，则，.
①一方面，我们有
，
故一定有.
②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时
.
综合①②两个方面，可知的最大值是.
故选：A.
8．【答案】C
【详解】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
由题可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，因此，故A正确；
对于B，若，则，所以，所以，故B错误；
对于C，因，，
由在上的投影向量为，解得，
又，，故C正确；
对于D，因，
故，
当，即时，
也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】，故的最小正周期为，A错误；
当时，，所以，
从而，B正确；
由题意知
，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，C正确；
令，当时，，则方程在上恰有一个根等价于，
即在上恰有一个根，
作出，的图象与直线，如图所示，
可得当或，即或时，方程在上恰有一个根，D错误．
故选BC.
11．【答案】BD
【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，
，
，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，
，即投影向量为，正确；
对选项C：，
，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，
，，
整理得到，，故，正确.
故选CD.
12．【答案】
【详解】由题意得，
，
因为，所以.
13．【答案】
【详解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
14．【答案】 /
【详解】依题意，，
所以，
由于三点共线，所以.
因为，且，所以.
设.
由向量减法的三角形法则可得.
那么.
.
已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角），
可得.
展开得：
，
把，，代入上式：
，
展开并整理：
，
合并同类项得.
令，，这是一个二次函数，二次项系数，
图象开口向上，对称轴为.
当时，取得最小值，.
当时，取得最大值，，
所以的取值范围是.
15．【答案】(1)；
(2) .
【详解】（1）由 与 共线，则存在实数 ，
使得 ，
即 ，又 是不共线的两个非零向量，
因此 ，解得 ，或 ，实数 k 的值是 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．【答案】(1)6
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由正弦定理及，
得
（2）（i）由余弦定理有，
（ii）因为，所以，
从而，
则，
17．【答案】(1)，单调递减区间为
(2)
(3)
【详解】（1）由已知得，
，
因为图象一个对称轴为，所以，
解得，又因为，所以．
所以，令，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
又因为函数在区间上有零点，
所以令，即，
则和有交点即可，
因为，所以，
则，即，
解得，则.
（3）因为，所以，
则，解得，
故，而，
即，得到，
则，解得，
所以使成立的x的取值集合为
18．【答案】(1)，最大值为(平方千米)；
(2)万元
【详解】（1）由题意可得，其中，
在中，，则
所以
因为，所以，
所以当，即时，矩形的面积取最大值，
所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)；
（2）由(1)可知，则
，
设建造总费用为y万元，
则
令，
因为，所以，所以，
则，
所以
所以建造总费用的范围为万元．
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，，
又，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
（2）因为
，
又点分所成的比为，即，所以，
则，
设，则，
当或时，
当时
，当且仅当，即时取等号．
即的最小值为．