江苏省东台市第一高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省东台市第一高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，时间 120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法三角形法则即可得到结果.
【详解】.
故选：A.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式计算即可.
【详解】
,
故选：B
【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.
3. 在中，为边上一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的减法法则化简可得答案.
【详解】在中，为边上一点，，即，
因此，.
故选：C.
4. 如图，有三个相同的正方形相接，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出和的值，再由正切函数的两角和的正切公式即可得结果.
【详解】设正方体边长为1，由图可得，，
则，
故选：B.
5. 已知=（cs23°，cs97°）， =（sin97°，sin23°），则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数量积的坐标运算和逆用两角和的正弦公式即可得出答案.
【详解】由数量积的坐标运算可知，
故选：D.
6. 已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量垂直可得出，再利用投影向量的定义可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】因为，则，可得，
因为向量、的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
7. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】变形给定等式，利用和差角的余弦公式化简即得.
【详解】由，得，
则，
因此，
所以.
故选：D
8. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.
【详解】由，得，且，
而三点共线，则，即，
所以，
所以.
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分.
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若向量、共线，则点、、、必在同一直线上
B. ，不能作为平面内所有向量的一个基底
C. 边长为的正方形中，
D. 若点为的重心，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义可判断A选项；利用平面向量基底的概念可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量的线性运算结合重心的几何性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若向量、共线，则点、、、在同一直线上或，A错；
对于B选项，因为，，则，即，
所以，，不能作为平面内所有向量的一个基底，B对；
对于C选项，因为四边形是边长为的正方形，则，
，C错；
对于D选项，延长交于点，则为的中点，且，
所以，，
所以，，D对.
故选：BD.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若．且，则
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断.
【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确；
对选项B，∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．故B正确；
对选项C，，
，故C错误；
对选项D，，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据 的定义对选项逐一分析, 由此判断出结论正确的选项.
【详解】对于A选项，, 所以A 选项结论正确；
对于 B 选项，等式左边 ，右边 ，其中 是 与 的夹角，
故当 ，等式不成立，所以B选项结论错误.
对于C选项，等式左边 右边，故C 选项结论正确.
对于D选项，根据C的分析可知
，
而 为非负数.
故 .
所以D选项结论正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知向量、满足，，，则与的夹角等于______
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值.
【详解】因为，
可得，
因为，故，即与的夹角为.
故答案为：.
13 已知，则______
【答案】##
【解析】
【分析】在等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值.
【详解】在等式两边平方得，
解得.
故答案为：.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M，N是BC上的两动点，且MN＝2，则的最小值为_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意设，则，再根据向量的加法和数量积进行化简，得，再根据二次函数最值的求法即可求解.
【详解】由题意，,且可设，则，则
，
则，当时取得最小值.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：解题的关键是会进行数量积的运算，能够将向量运用基底进行转化，然后结合数量积运算出结果.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且与的夹角为60°.
（1）求的值
（2）求的值；
（3）若向量与平行，求实数的值．
【答案】（1）60 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可；
（2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可；
（3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
【小问3详解】
因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
16. （1）已知平面上三点，若A，B，C三点共线，求实数k的值；
（2）求函数的值域
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出值.
（2）利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出值域.
详解】（1）由，得，
由A，B，C三点共线，得，则，即，
所以或.
（2）函数，
而，则当时，；当，，
所以函数值域为.
17. 已知，．
（1）求和的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的余弦公式可求得的值；
（2）求出，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【小问1详解】
因为，，则，
由二倍角公式可得，
，
因此，.
【小问2详解】
因为，，则，
所以，，
所以，
.
18. 已知向量，．
（1）求的值；
（2），求；
（3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）5； （2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，再求出模即可；
（2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可；
（3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可.
【小问1详解】
由，知，所以．
【小问2详解】
由，知,,
因为，
所以，解得：
【小问3详解】
由题可得，，由已知有与的夹角为锐角，
故即是要且与不共线．
从而命题等价于，即，所以的取值范围是．
19. 已知．
（1）求的周期；
（2）求在的值域；
（3）若，求的值．
【答案】（1），且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式化简即可；
（2）将看作整体，求出其范围，然后求出的范围即可得出答案；
（3）根据条件得出，然后结合得出，利用两角和差的正弦公式和二倍角公式即可求解.
【小问1详解】
,
所以的最小正周期为，的周期为，且；
【小问2详解】
当，，
，
；
【小问3详解】
，
，，
，，，