2024-2025学年江苏省东台市高二下册第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省东台市高二下册第一次月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. 2B. 22C. 12D. 10
【正确答案】A
【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
2 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【正确答案】A
【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可设，即，
即，解得，所以.
故选：A
3. 在的二项展开式中，含的项系数是（ ）
A. 132B. 240C. 480D. 196
【正确答案】B
【分析】利用二项式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系数.
【详解】可以看成6个因式相乘，要得到，只需两个因式取，其他4个因式取常数即可，
所以的系数为.
故选：B
4. 已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意求出、，设平面的一个法向量为，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解.
【详解】由题，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得.
故选：B
5. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同选派方案的种数是（ ）
A. 20B. 90C. 120D. 240
【正确答案】C
【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.
【详解】共有种不同的选派方案．
故选：C.
6. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得.
【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为，
，则，
又因为：，
同理可得：，
则
，则.
故选.
7. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A. B. 4C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求.
【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
设，因为，
所以，
，
设异面直线与所成角为，
则，
解得，即.
故选：B.
8. 地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种.
A. 84B. 72C. 48D. 24
【正确答案】A
【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解.
【详解】将图形区域氛围上下左右，
若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；
若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，
所以共有种，
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【正确答案】AD
【分析】利用空间向量共面的概念可判断A选项；利用共面向量的推论可判断B选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A对；
对于B选项，若、、、四点共面，则存在、，使得，
则对空间中任意一点，，
可得，且，
因为，且，
所以，、、、四点不共面，B错；
对于C选项，因为，即，故或，C错；
对于D选项，假设、、共面，则存在、，使得，
所以，，则、、共面，与题设矛盾，
故也是空间的一个基底，D对.
故选：AD.
10. 在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
【正确答案】ACD
【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确
【详解】解：由题意得：
对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；
对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；
对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.
故选：ACD
11. 若，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误.
【详解】对于A：令，则，故A错误；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D，由，
两边同时求导得，
令，则，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若，则______.
【正确答案】或
【分析】由组合数的性质即可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为，则或，且，解得或.
故或.
13. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为____________.
【正确答案】
【分析】取直线的一个单位方向向量为，由点到直线的距离公式为，代入运算，即可得解．
【详解】由题意知，直线的一个方向向量为,0,，
取直线的一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点,2,，
，
,,，，
点到直线的距离为．
故．
14. 书架上某一层有本不同的书，新买了本不同的书插进去，要保持原来本书的顺序不变，则不同的插法种数为______.（用数字作答）
【正确答案】
【分析】原问题等价于将本书放在书架上，保持原来的本书顺序不变，结合倍缩法即可得解.
【详解】原问题等价于将本书放在书架上，保持原来的本书顺序不变，
由倍缩法可知，不同的插法种数为种.
故答案为.
四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程和验算步骤.）
15. （1）解不等式；
（2）计算：；（结果用数字表示）
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）由已知条件可得出关于的不等式，可解出的可能取值，再结合排列数公式可解出的值；
（2）利用组合数的运算性质可得出所求代数式的值.
【详解】（1）对于不等式，有，可得，
因为，所以，
即，可得，解得.
又因为，解得；
（2）由题意可知：
.
16. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，已知，.
（1）求到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）推导出，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
小问1详解】
，，
，，.
由直三棱柱中，底面，、底面，
，.
以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
设平面的法一个向量为，则，
令，则，，所以，
设到平面的距离为，则.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，则，
取，则，可得，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
（1）全体站成一排，甲、乙不在两端；
（2）全体站成一排，男生站一起、女生站在一起；
（3）全体站成一排，男生彼此不相邻.
【正确答案】（1）2400
（2）288 （3）1440
【分析】（1）特殊元素优先排求解；
（2）利用捆绑法求解；
（3）利用插空法求解.
【小问1详解】
先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有种.
【小问2详解】
相邻问题，利用捆绑法，共有种.
【小问3详解】
即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，
所以共有种.
18. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解；
（2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解；
（3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可.
【小问1详解】
依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
【小问2详解】
展开式的通项为，
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
【小问3详解】
系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．

（1）证明：若，则直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）证明见详解
（2）
（3）存在，或
【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；
（2）利用坐标法求二面角余弦值，在求解该角的正弦值；
（3）设，可表示点与，再根据线面夹角向量法求得即可.
【小问1详解】
如图所示，

在线段上取一点，使，连接，
因为，则,
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，，点为中点，，
所以平行且等于，即四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，
所以平面平面，
因为平面，平面
所以在平面内一定存在一条直线与直线平行，
所以平面.
【小问2详解】
如图所示，

因为平面，，
所以点为坐标原点，以分别为轴
建立空间直角坐标系，
所以由题意得：，
又点为中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，
令，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，
令，
所以，
设二面角的大小为，
所以
，
所以二面角的正弦值为：
.
【小问3详解】
存在点，使与平面所成角的正弦值为，
此时或，
理由如下：
假设存在点，设，
即，
由（2）知，
且平面的法向量为，
则，
所以，
所以，
设与平面所成角为，
则
，
化简得：，
解得：或，
故存在点，使与平面所成角的正弦值为，
此时或.