广东省广州市铁一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市铁一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则有（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则
A．B．C．D．
3．函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．在等差数列和等比数列中，有，且，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知均为钝角，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互对立D．事件与事件相互独立
7．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列的前项和为，公差，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．当取得最小值时，的值为22D．当时，的最小值为44
10．如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当点为的中点时，线段的最小值为
C．工艺品的体积为
D．工艺品可以完全内置于表面积为的球内
11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
13．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是 ．
14．对于，函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．

(1)求的面积；
(2)求的周长的最大值．
16．数列的首项，
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，当数列的项取得最大值时，求的值．
17．已知椭圆 上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，点为椭圆上一点，求的面积的最大值．
18．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求的取值范围.
19．已知函数是区间上的可导函数，数列满足，若点与所在直线的斜率存在，且与的图象在处的切线斜率相等，则称为的“—和谐数列”.
(1)若，，是的“1—和谐数列＂，且，求；
(2)若，.
①判断在上的单调性；
②若是的“—和谐数列”，且，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选C.
2．【答案】B
【解析】根据对称性求出，再利用复数除法的运算法则求解即可.
【详解】因为复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，
，
，故选B.
3．【答案】B
【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正，
故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增，
结合4个选项的图象，可排除A，D；
由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C，
故选B．
4．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，则，故，
因为为等差数列，故，
因为为等差数列，故，故，
结合题设条件有，由基本不等式可得，
故，而，故，
故选B.
5．【答案】C
【详解】，
即，得，由，且均为钝角，
所以，
，
，
由，所以，所以.
故选C.
6．【答案】B
【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误；
对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确；
对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误；
对于D，，，，事件与事件不独立，D错误.
故选B.
7．【答案】A
【详解】成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选．
8．【答案】D
【详解】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得，，
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
对于B，时，，，若数列单调递增，
则，即，由，需要，故B选项错误；
对于C，时，，解得，时，，
由，若数列单调递减，则，
即，而不能满足（）恒成立，C选项错误；
对于D，时，，解得或，
由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】因为，所以，所以，又，所以，故A正确；，故B正确；因为，所以该等差数列是递增数列，又，所以当，或时，取得最小值，故C错误；，又，所以，因此的最小值为44，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】根据题意可以构造长宽高分别为的长方体，
对于A，因为，且，则为平行四边形，可得，
可知异面直线与所成的角为（或其补角），
在中，可知，
由余弦定理可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故A错误：
对于B，当为的中点时，可知，
且BM垂直于长方体的上下底面，所以垂直于长方体的上下底面，
此时线段的最小值为，故B正确：
对于C，工艺品的体积，故C正确；
对于D，由于的顶点都在长方体的顶点处，可知的外接球即为长方体的外接球，
设的外接球半径为，则，
所以外接球的表面积为，
且，所以不可以完全内置于表面积为的球内，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】3
【详解】设直线l与曲线相切于点，
由，得，因为l与曲线相切，
所以消去，得，解得．
设l与曲线相切于点，由，得，即，
因为是l与曲线的公共点，
所以消去，得，即，解得．
13．【答案】/
【详解】如图所示，直线与轴交于点，
设，则，
因为，
所以，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，则，
解得，所以双曲线 的离心率为．
14．【答案】
【详解】依题意，任意的均使得有且仅有一个零点，令0，得，
记函数，即与直线有且仅有一个交点，
若的值域不是，设的值域为，则，使得，矛盾，
所以的值域为，且为单调函数（否则与直线存在至少两个交点），
所以恒有或，易得，
当且时，有，所以恒有，得恒成立，
记，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以的最大值为，
故实数的取值范围是.
15．【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）因为平面四边形存在外接圆，
所以，，
又，所以，
所以的面积．
（2）在中，由余弦定理得
，
解得．
在中，由余弦定理得，
即
．
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，故的周长．
16．【答案】(1)证明见解析，
(2)第8项和第9项取得最大
【详解】（1）由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为
（2）由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项最大，则，
可得，解得，所以数列第8项和第9项取得最大.
17．【答案】（1），（2）
【详解】（1）由题意，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设的方程为 ，点
联立方程组消去得，
令，解得，且，
则由弦长公式得．
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时取得最大值．所以面积的最大值为．
18．【答案】(1)6，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1），
，解得，
此时，
令，有或，令，有，
所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
当即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，在上单调递增，无递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
19．【答案】(1)
(2)①单调递增；②证明见解析
【详解】（1）由题意，得与所在直线的斜率为，
，的图像在处的切线斜率为，
所以，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，.
（2）①因为，，所以，
设，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以，即在上单调递增，且，
所以在上单调递增.
②证明：因为是的“—和谐数列”，所以，
设，则，
，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
设，，则，
所以，
令，则
由①知，且在上单调递增，
，所以，所以单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
取，得.
又，，在上单调递增，
所以，即，
所以.