2021届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题

广州市执信中学2021届高三年级第二次月考

数  学

（考试时间：120分钟  满分：150分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

1．设集合，，则=(    )

A． B． C．  D．

2．复数的虚部是(    )

A．    B．   C．    D．

3．命题“对任意都有”的否定是(    )

A．对任意，都有    B．存在，使得

C．存在，使得    D．不存在，使得

4．己知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(    )

A．   B．  C．  D．

5．函数的图象大致形状是(    )

6．己知数列满足，则的前10项和等于(    )

A．  B．  C．  D．

7．设，则“”是“”的(   )

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

8．的展开式中的系数为(   )

A．12              B．16             C．20            D．24

9．，，，则(    )

A．   B．   C．   D．

10．函数的定义域为，且，当时，；当时，，则=(    )

A．671           B．673      C．1345       D．1347

11．（多选）己知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为(    )

A．是奇函数       B．0是的极值点

C．在区间上有且仅有三个零点 D．的值域为R

12．（多选）如图，在正方体中，平面，垂足为，则下面结论正确的是(    )

A．直线与该正方体各棱所成角相等

B．直线与该正方体各面所成角相等

C．垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形

D．过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13．己知向量满足，，，则=       .

14．若函数是定义R上的周期为2的奇函数，当时，，则=       .

15．己知为锐角，且，则=          .

16．己知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是       .

三、解答题（本大题6小题，共70分）

17．（本小题10分）

在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

(1)的值：

(2)和的面积.

条件①：

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题12分）

在公比为2的等比数列中，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

如图，己知椭圆的一个顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，直线与线的斜率之积为，证明：直线过定点并且求出该定点坐标．

21．（本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

22．（本小题满分12分）

己知函数

(1)若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

(2)若在定义域上有两个极值点，证明：

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13．【答案】        14．【答案】-2

15．【答案】      16．【答案】

三、解答题（本大题6小题，共70分）

17．（本小题10分）

【解析】选择条件①(1)，

，

(2)，，

由正弦定理得：，

，

选择条件②(1)，

，，

由正弦定理得：.

(2)，

.

18．【解】(1)因为成等差数列，所以，

所以，解得，所以

(2)因为，所以，

所以，

所以，

19．(1)因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面.

(2)取的中点，连结

因为，所以.

又因为平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以.

如图建立空间直角坐标系，由题意得，

.

设平面的法向量为，则

即

令，则

所以

又，所以

所以直线与平面所成角的正弦值为

20．(1)因为一个顶点为，故，又离心为，故即，所以，故椭圆方程为：

(2)若直线的斜率不存在，则设

此时，与题设条件矛盾，故直线斜率必存在.

设，，联立

化为

，，.

，

，

，

化为，解得或（舍去）．即直线过定点

21．解：(I)依题意，，

，，

由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：

(II)记水电站年总利润为（单位：万元）

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，

对应的年利润，

②安装2台发电机．

当时，一台发电机运行，此时，

因此，

当时，两台发电机运行，此时，

因此．由此得的分布列如下：

所以

③安装3台发电机．

依题意，当时，一台发电机运行，此时，

因此；

当时，两台发电机运行，此时，

此时

当时，三台发电机运行，此时，

因此，

由此得的分布列如下：

所以

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

22．解：(I)，，………2分

令．当时，，，在单调递减．………4分

当时，，方程有两个不相等的正根，不妨设，

则当时，，当时，，这时不是单调函数.

综上，的取值范围是.  ………………………6分

(II)由(I)知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，

且

  …………………9分

令，，

则当时，在单调递减，

所以，即 ………………………12分