北京市育才学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市育才学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
三月月考试卷
一、选择题（每小题4分，10道小题，共40分）
1. 与的等差中项是（ ）
A. B.
C. D.
2. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（ ）
A. 2000元B. 2200元C. 2400元D. 2600元
4. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
5. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
7. 在数列中，且，则（ ）
A B. C. 2D.
8. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则
A. B. C. D.
9. 记为数列的前n项和.若，则（ ）
A 有最大项，有最大项
B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项
D. 有最小项，有最小项
10. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，5道小题，共20分）
11. 已知数列为等差数列，，则________．
12. 若随机变量X的分布列为（如表），
则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）
13. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______.
14. 随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则比大小关系是_________．
15. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________﹔第n个图形的边数________．
三、解答题（4道小题，共40分）
16 已知数列中，．
（1）求数列的前5项；
（2）若等差数列满足，求前n项和．
17. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；
（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
18. 小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：
（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；
（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：
将每科两次测试成绩均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)
19. 若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”，
（1）若，判断，是否是“P数列”；
（2）已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围；
2024—2025学年度第二学期
北京育才学校高二数学
三月月考试卷
一、选择题（每小题4分，10道小题，共40分）
1. 与的等差中项是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2与8的等差中项是，则，进一步解得的值即可．
【详解】解：设2与8的等差中项是，则，解得．
故选：B．
2. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由次独立重复试验概率计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是.
故选：D
3. 船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（ ）
A. 2000元B. 2200元C. 2400元D. 2600元
【答案】B
【解析】
【分析】由期望计算公式可得答案.
【详解】由题可得出海效益的期望是.
故选：B
4. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
【答案】A
【解析】
【分析】
作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性.
【详解】，，
，因此，数列是递增数列.
故选：A.
【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
5. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.
【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），
所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为.
故选：D
6. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
【答案】D
【解析】
【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.
【详解】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
7. 在数列中，且，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算可得数列周期性，即可得答案.
【详解】注意到，，
，，则.
故.
故选：C
8. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项分布期望公式求出，再由方差公式可计算出答案．
【详解】由于离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，
因此，，故选D．
【点睛】本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题．
9. 记为数列的前n项和.若，则（ ）
A. 有最大项，有最大项
B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项
D. 有最小项，有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解.
【详解】根据题意，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，
则当时，取得最大值，
所以当时，有最大值为16，所以有最大项.
又由可解得，
则当时，，当时，，当时，，
所以当或8时，最大，
则有最大项，有最大项.
故选：A.
10. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场, 中国女排在先胜一局的情况下,则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和即可得解.
【详解】每场比赛中国女排获胜的概率为,该国女排获胜的概率为,现中国女排在先胜一局的情况下获胜,有以下三种情况:
总共比赛三场,则第二场和第三场中国队获胜,所以此种情况下中国队获胜概率为
总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,该国胜一场.且第四场中国队获胜,则此种情况下中国队获胜的概率为
总共比赛五场,则第五场中国队获胜,第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的概率为
所以中国队获胜的概率为
故选:A
【点睛】本题考查了分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面,属于中档题.
二、填空题（每小题4分，5道小题，共20分）
11. 已知数列为等差数列，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可得答案.
【详解】设公差d，由题，.
故答案为：.
12. 若随机变量X的分布列为（如表），
则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）
【答案】 ①. ##0.5 ②. ##
【解析】
【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.
【详解】
Y=2X+1
.
故答案为：；.
13. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率．
【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为.
∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.
∴剩余三个数能构成等差数列的概率是
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14. 随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则比大小关系是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由古典概型知识计算各概率即可比较大小.
【详解】抛两枚骰子，设第一枚骰子点数为x，第二枚为y，则骰子点数情况记为.
总情况数为36，向上的点数之和不超过5的情况有：共10种，
则；则超过5点的情况有26种，故.
点数之和为偶数的情况有：
共18种，故.
综上可得.
故答案为：.
15. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________﹔第n个图形的边数________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.
【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍，
因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.
设第个图形的边数为，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
故答案为：；
三、解答题（4道小题，共40分）
16. 已知数列中，．
（1）求数列的前5项；
（2）若等差数列满足，求的前n项和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明数列是等比数列，再写出通项即可计算求解；
（2）先求出的通项公式，再应用等差数列求和公式求解.
【小问1详解】
数列中，因为，故，
故，所以数列是等比数列，公比是2，
又因为，所以．
所以；
【小问2详解】
等差数列满足，
设等差数列公差为，所以，所以,
所以的前n项和．
17. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
（2）现从该校男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；
（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率；
（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；
（3）直接判断写出与的大小关系．
【小问1详解】
设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，
在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，
所以；
【小问2详解】
由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，
则，
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，
，
由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
所以的分布列为：
；
【小问3详解】
．
18. 小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：
（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；
（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：
将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)
【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）不正确
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；
（2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望；
（3）根据方差公式计算，结合比较可得答案.
【详解】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，
所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.
（2）的所有可能取值为：0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：
数学期望.
（3）设，则，
则
，
同理可得，
，
因为，所以，
所以
的符号不确定，
所以与无法比较大小，
，
所以，
故这种观点不正确.
【点睛】关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键.
19. 若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”，
（1）若，判断，是否是“P数列”；
（2）已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用作差法从及反例，可得答案；
（2）由等差数列的通项公式与求差公式，利用作差法以二次函数性质，可得答案.
小问1详解】
由，则数列是“数列”，
由，当时，，则数列不是“数列”.
【小问2详解】
设等差数列的公差为，则，
由数列是“数列”，则，
，
恒成立，即恒成立，
令，
当时，即，二次函数开口向下，对称轴为直线，
易知函数在上单调递减，则数列无最小值，不符合题意；
当时，即，，当时，，符合题意；
当时，即，二次函数开口向上，对称轴为直线，
易知函数在上单调递增，则，符合题意.
综上所述，公差d的取值范围为.
X
1
2
3
语文
数学
英语
物理
化学
生物
第一次
87
92
91
92
85
93
第二次
82
94
95
88
94
87
语文
数学
英语
物理
化学
生物
6科成绩均值
6科成绩方差
第一次
第二次
X
1
2
3
0
1
2
语文
数学
英语
物理
化学
生物
第一次
87
92
91
92
85
93
第二次
82
94
95
88
94
87
语文
数学
英语
物理
化学
生物
6科成绩均值
6科成绩方差
第一次
第二次
0
1
2