北京市育才学校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市育才学校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（100分钟）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分.）
1. 化简的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.
【详解】
故选：D
2. 若,则角的终边位于
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由可得 或又三角函数在各个象限的符号可求角的终边所在象限.
【详解】由可得 或当时角的终边位于第四象限，当时角的终边位于第二象限.
故选C.
【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题.
3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项C：，对于选项A：，故A、C均被排除，应选B.
4. 函数是
A. 周期为的奇函数B. 周期为的奇函数
C. 周期为的偶函数D. 周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求得周期；再根据奇偶性定义求得奇偶性.
【详解】，即周期为
，即函数为奇函数
本题正确选项：
【点睛】本题考查正切函数奇偶性的判断、周期性的求解问题，属于基础题.
5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的关系，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，
所以.
故选：C
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
7. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解.
【详解】对于函数，令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时函数的一个单调递增区间为，
又函数在上单调递增，所以，
则的最大值为.
故选：B
8. 已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分类讨论，结合的性质可得．
【详解】由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选：D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
9. 已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式：求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长．
【详解】由题意，扇形的弧长为，所以扇形的周长为
故答案为
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．
10. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数的定义域即可求解.
【详解】要使函数有意义，则有，
所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11. 已知角的终边经过点，则的值等于_____．
【答案】
【解析】
【详解】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以 ，故填 .
12. 若函数y＝cs (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________．
【答案】kπ＋（k∈Z）
【解析】
【详解】由题意，得y＝cs （3x＋φ）是奇函数，cs φ＝0，所以φ＝kπ＋（k∈Z）.
13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.
【详解】解：若对任意的实数x都成立，
可得的最小值为，
可得，，
即有，，
由，
可得的最小值为2，此时.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
14. 设函数，，有以下四个结论.
①函数是周期函数：
②函数的图像是轴对称图形：
③函数的图像关于坐标原点对称：
④函数存在最大值
其中，所有正确结论序号是___________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据正弦型函数和二次函数的周期性、对称性、值域进行逐一判断即可.
【详解】①：函数的最小正周期为：，函数没有周期性，所以函数不是周期函数，故本结论不正确；
②：因为函数，所以该函数的对称性为：，
因为，所以函数也关于对称，
因此函数的图像是轴对称图形，故本结论说法正确；
③：令，
，对于不恒成立，
所以对于不恒成立，
因此函数不是奇函数，故图象不关于原点对称，所以本结论说法不正确；
④：因为，所以，
因为，所以
所以，
因此本结论正确，
故答案为：②④
【点睛】关键点睛：正确理解函数的周期性和对称性是解题的关键.
三、解答题（本大题共4小题，共44分.写出必要的步骤和文字说明.）
15. 已知，.求，及的值．
【答案】，，
【解析】
【分析】由平方关系可以求出，由商数关系可以求出，由诱导公式可以求出.
【详解】因为，，，
则，
由商数关系可得：，
由诱导公式可得：，
所以，，.
16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示.
（1）求出，，的值；
（2）求函数的单调递增区间和对称轴；
（3）求在上的最小值，并求出取最小值时x的取值.
【答案】（1），，；
（2）单调递增区间（）；对称轴方程（）；
（3）最小值为，此时.
【解析】
【分析】（1）通过观察图象先求出和周期,进而求出，再代入特殊值求出即可；
（2）利用整体代换的方法，结合正弦函数的单调递增区间及对称轴方程求解即可；
（3）先由的范围，得到的范围，结合正弦函数的图像求解即可.
【小问1详解】
由图可知，，，所以，
因为，所以，
由，
得（），得（），
因为，所以，
所以，，；
【小问2详解】
由（1）可知.
令（），
解得（），
所以的单调递增区间为（）.
令（），得（），
所以的对称轴方程为（）；
【小问3详解】
因为，所以，
所以当，即当时，取到最小值.
17. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的解析式；
（3）若图象对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，求出函数的最小正周期.
（2）根据最小正周期确定值，选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；
（3）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以.
函数的最小正周期.
【小问2详解】
由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．此时．
（1）选条件①②；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件①③：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，所以，，解得.
所以；
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
【小问3详解】
因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
18. 设函数的定义域为.若存在常数，（，），使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和是否具有性质P?（结论不要求证明）
（2）若函数具有性质P，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质；
（2）
【解析】
【分析】(1)只要找到满足条件的即可判断；
(2)将已知条件代入可得，再利用的解析式可求出时的解析式，即可求解.
【小问1详解】
函数是单调递增函数，所以函数不具有性质；
当时，函数对于任意，成立，所以函数具有性质；
【小问2详解】
因为函数具有性质，且其对应的，，所以，
因为当时，，
所以设，则，
所以，所以，，①
又当时，，当时，，
所以，满足①式，
所以，，
因为，所以，所以，即，
所以函数在区间上的最大值为.