安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期3月阶段考试 数学试题（人教A版）D卷（含解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．
1. （ ）
A. 14B. 16C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】由排列数和组合数的公式，可得.
故选：C.
2. 若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合即可求解.
【详解】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上，
可知椭圆的长轴顶点为，焦点为，
所以双曲线的焦点为，顶点为，
设双曲线方程为，可得，，则，
所以双曲线的方程为.
故选：A.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由，得，
故．
故选：B
4. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，
若点在圆外，则，
则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，
即“点在圆外”“直线与圆相交”；
若直线与圆相交，则，可得，
不妨取，，则，此时，点在圆内，
所以，“点在圆外”“直线与圆相交”.
因此，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（ ）
A. 10种B. 12种C. 15种D. 18种
【答案】A
【解析】
【分析】在四盏熄灭的灯中，使用插空法即可求解；
【详解】四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盛亮灯，即不同的开灯方案有（种）
故选：A
6. 已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案.
【详解】点的坐标为，动点满足，
故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
圆的方程为，
圆心与原点的距离为，
则的最大值为.
故选：B
7. 已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，可得，点共线，设，可得，由的周长为，可得，在中，利用勾股定理有，化简整理，即可求出离心率.
【详解】由可知，
，由得，点共线.
又，设，
连接，则，
由椭圆的定义可知的周长为，
则，解得，
所以，再根据椭圆的定义可知，，
则在中，，即，
解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由，设，得到，由的周长为，可得，再在中，利用勾股定理即可.
8. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为，则当变大时（ ）
A. 变小B. 先变小再变大
C. 变大D. 先变大再变小
【答案】A
【解析】
【分析】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中白球的个数服从超几何分布，则．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个白球的个球中取一球，取到白球的个数为，
易知随机变量服从两点分布，故，
所以，随着的增加，减小.
故选：A
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（ ）
A. B. 所有项的系数和为1
C. 没有常数项D. 的系数为14
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式系数计算判断A，赋值法判断B，根据通项公式判断CD.
【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误;
令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确;
在中，第项，
取，即，所以不存在常数项，故C正确;
取，即，所以，所以的系数为14，故D正确.
故选：BCD
10. 如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，．同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为X．同一次试验中在A，B两处遇到红灯的次数之和为Y，则（ ）
A.
B. 一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为
C.
D. 当时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式和方差公式计算可判断选项A、C；利用相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式可判断选项B；应用数学期望公式可判断选项D.
【详解】由题意可知：，
所以,
，故选项A、C错误.
对于选项B：因为A，B两个指示灯工作相互独立，
所以在一次实验中A，B两处都不遇到一次红灯的概率为.
根据对立事件的概率公式可得：
一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为，故选项B正确.
对于选项D：根据题意可知：Y的所有可能取值有：，，.
当时，,
,
.
所以，故选项D正确.
故选：BD.
11. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，抛物线的准线为，点在抛物线上，直线过点且与交于，两点，则（ ）
A. 若点的坐标为，则的最小值为3
B. 以线段为直径的圆与直线相离
C. 点到直线的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】由抛物线的定义可得A正确；设，直线的方程为，联立曲线方程，然后用韦达定理求出弦长，再利用换元法求出中点到准线的距离可得B正确；由点到直线的距离公式结合二次函数可得C错误；由向量垂直的坐标表示结合韦达定理可得D错误.
【详解】对于A，作于，由抛物线的定义可得，
当三点共线时取等号，故A正确；
对于B，设，直线的方程为，
联立，消去可得，，
，
设线段的中点为，则，
，
到准线的距离为，
则，
设，则，
所以，所以以线段为直径的圆与直线相离，故B正确；
对于C，设，由点到直线的距离公式可得，
当时，距离的最小值为，故C错误；
对于D，设，则，
由B可得，
所以，故D错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，设直线，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由两直平行得到，求解并验证即可；
【详解】因为直线，，，
所以，即，
当时，直线重合，舍去，
当时，符合题意；
故；
故答案为：
13. 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离为，则实数__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由抛物线定义求出，得到抛物线方程，再将点代入，即可求得.
【详解】由抛物线的定义可知，，
解得，所以，
将点代入得，，又,所以.
故答案为：.
14. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入_________号格子的概率最大.
【答案】
【解析】
【分析】利用次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解.
【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为；
小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为；
小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为；
小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为；
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
设小球掉入号格子的概率最大，显然，
则，即，
即
解得，
又为整数，
，
则小球落入8号格子的概率最大.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15 一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（4）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】（1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，利用捆绑法可求得排法种数；
（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；
（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.
【详解】（1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为种；
（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的个空中，则排法种数为种；
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为种；
（4）在个节目进行全排排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，
可得出前个节目中要有相声节目的排法种数为.
【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题.
16. 某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
（1）志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；
（2）为了调查志愿者选择服务项目情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见详解，.
【解析】
【分析】（1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件，利用组合知识和古典概型概率公式求出，然后由条件概率公式可得；
（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.
【小问1详解】
记小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件，
则，，
所以，
即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为.
【小问2详解】
由题知，的所有可能取值为，
由超几何分布概率公式得：
，
.
得随机变量X的分布列为：
所以.
17. 如图，在正四棱锥中，，为侧棱SD的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面PAC的距离；
（3）求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离；
（3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接交于点，连接,
因为是正四棱锥，所以平面，
且平面，所以,
又因为为正方形，所以,
所以以方向为轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为，所以,,
所以,,
所以,
所以，
，所以.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
,
所以，即，令，可得，
所以点到平面PAC的距离为.
【小问3详解】
设平面的一个法向量为，
,
所以，即，令，可得，
设平面SBC与平面PAC夹角为，则由图可知为锐角，
所以即为所求.
18. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.

（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；
（3）已知点，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程得到，代入点即可求解；
（2）由点到线的距离公式求解即可；
（3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证；
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，
又双曲线过点，
则，所以双曲线方程为，
即.
【小问2详解】
因为在曲线上，
则，
渐近线方程：，
所以：
【小问3详解】
由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为，
联立，消去得，
设，由题意得，
则，
所以
，
所以得证.
【点睛】关键点点睛：由，求证；
19. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
（1）求小李独立成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
（3）为了使小李获得收益期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小李需要聘请一位技术员，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率；
（2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案；
（3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论.
【小问1详解】
设事件“小李独立成功完成三道工序”
则．
【小问2详解】
设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故．
【小问3详解】
若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为，
，所以，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为，
有如下几种情况：
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，
由（1）知，，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，
，
所以，
因为，所以小李需要聘请一位技术员．
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