2025年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高考数学二模试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|y=lga(x+1)}，B={x|y= x2−x−2≥0}，则下列关系中，正确的是( )
A. A⊆BB. ∁RA⊆∁RBC. A∩B=⌀D. A∪B=R
2.已知z=1−i3+3i，则|z−−z|=( )
A. −23iB. 23iC. 0D. 23
3.已知α∈(0,π)，cs(π−α)=−2+ 34，则sinα2=( )
A. 3−14B. 3+14C. 3−18D. 3+18
4.在直角梯形ABCD中，AB//CD，且∠A=90°，AB=3，AD=CD=1，EB=2AE，则EC⋅ED=( )
A. 2B. 1C. 2 2D. 2
5.下列不等式成立的是( )
A. 0.40.30.50.2
6.如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为6cm，上底面的直径为12cm，高为6cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，PC是该圆台的一条母线，O为上底面圆的圆心，当△ABP面积最大时，OP与平面ABC所成夹角的正弦值为( )
A. 2 55
B. 55
C. 15
D. 12
7.已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A. A1，A2互斥B. P(B|A1)=58C. P(A2B)=17D. P(B)=3156
8.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x−2)为奇函数，若函数g(x)=ln( x2+4x+5−x−2)的图象与函数f(x)的图象有n个交点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，且i=1nxi=−2024，则n的值为( )
A. 1010B. 1012C. 1014D. 1016
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=40，D(X)=30，则p=34
B. 若随机变量ε～N(3,σ2)，且P(ε>7)=0.2，则P(−10)上的一动点，点Q在直线x=−p2上的射影为R，则( )
A. 抛物线C：y2=2px(p>0)上与焦点距离等于5的点的横坐标是1
B. 若过点H(2,0)的直线l交C于M，N两点，且MH=2HN，则△OMN的面积为6
C. |PB|+3|PQ|+3|QR|的最小值为3 65
D. 已知点T在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过点T作曲线E的切线，若切线长为 119，则点T到C的准线的距离为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(2x3−ax)6的展开式中，x2项的系数为60，则a的值为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=120°，a2+(1−2csC)ac−2c2csC=0，则C= ______．
14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为底面ABCD上一动点，EF与底面ABCD所成的角为θ，若sinθ−csθ= 3−12，且该正方体的外接球的体积为4 3π，则动点F的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5−1成等比数列，记S为数列{bn}的前n项和，且4Sn=3bn+2．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=(−1)n−1anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
“两岸同心跑、共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分(满分100)数据，统计结果如表所示．
(1)把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样的方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为X，求出X的分布列，并求数学期望E(X)和方差D(X)．
附表及公式：
其中K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上．
(1)求三棱锥P−BCH的体积；
(2)若M是边PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC的夹角正切值为 393？若存在，求点M到平面ABC的距离；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，过点(1,0)的动直线l与椭圆相交于两点，当直线l与x轴垂直时，直线l被椭圆E截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，P是椭圆C上一动点(不同于A，B)，记kOP，kPA，kPB分别为直线OP，PA，PB的斜率，且满足k⋅kOP=kPA⋅kPB，求点P的坐标(用k表示)；
(3)过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，是否存在实数λ，使|MN|=λF1M⋅F1N恒成立？若存在，求此时|MN|的最小值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知a为实数，将函数m(x)=x+a−1的图象向左平移一个单位长度得到ω(x)的图象，设函数f(x)=ω(x)⋅ln(x+1).定义：对于给定的一组有序实数(k,m)，若对任意x1，x2∈(−1,+∞)，都有[kx1−f(x1)+m][kx2−f(x2)+m]≥0，则称(k,m)为f(x)的“魅力数组”．
(1)已知f′(x)为f(x)的导函数，讨论f′(x)的单调性；
(2)若a=−3，判断(0,0)是否为f(x)的“魅力数组”，并说明理由；
(3)若对任意x0>−1，(f′(x0),f(x0)−x0f′(x0))都是f(x)的“魅力数组”，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.±1
13.30°
14.4 39
15.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，已知公差d=2，
由a2，a3，a5−1成等比数列，得(a1+4)2=(a1+2)(a1+7)，
解得a1=2，则an=2+2(n−1)=2n．
在数列{bn}中，由4Sn=3bn+2，得4b1=3b1+2，即b1=2，
当n≥2时，4Sn−1=3bn−1+2，
两式作差可得：4bn=3bn−3bn−1，即bn=−3bn−1，n≥2，
∴数列{bn}是以2为首项，以−3为公比的等比数列，
则bn=2⋅(−3)n−1；
(2)cn=(−1)n−1anbn=4n⋅3n−1，
则Tn=4(1⋅30+2⋅31+...+n⋅3n−1)，
令Mn=1⋅30+2⋅31+...+n⋅3n−1，
则3Mn=1⋅31+2⋅32+...+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n，
∴−2Mn=1+31+32+...+3n−1−n⋅3n=1×(1−3n)1−3−n⋅3n=(12−n)⋅3n−12，
则Mn=12(n−12)⋅3n+14，
可得Tn=(2n−1)⋅3n+1．
16.(1)解：由题意，可得2×2列联表如下：
依题意，K2=600×(90×140−260×110)2350×250×200×400≈21.94>10.828，
故有99.9%的把握认为市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关系．
(2)由题意，抽查结果为“比较了解”的概率为23，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且X～B(4,23)可得P(X=0)=C40⋅(13)4⋅(23)0=181，
P(X=1)=C41⋅(13)3⋅(23)1=881，
P(X=2)=C42⋅(13)2⋅(23)2=2481=827，
P(X=3)=C43⋅(13)1⋅(23)3=3281，
P(X=4)=C44⋅(13)0⋅(23)4=1681，
可得随机变量X的分布列为：
所以E(X)=np=4×23=83，D(X)=np(1−p)=4×23×(1−23)=89．
17.解：(1)作PE⊥AC，垂足为E，连接EH，如图所示．
由点P在平面ABC的射影H落在边AB上，可得PH⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，
所以PH⊥AC，因为PH∩PE=E，且PH，PE⊂平面PHE，所以AC⊥平面PHE，
又EHC平面PHE，所以AC⊥EH.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC，可得△ABC∽△AEH，
由AB=4，BC=2，可得AP=2，PC=4，AC=2 5.所以PE=AP⋅PCAC=4 55，AE= AP2−PE2=2 55．
由△ABC−△AEH，可得AEAH=ABAC，即AH=AE⋅ACAB=2 55×2 54=1，
则BH=AB−AH=3.在Rt△PAPH= PA2−AH2= 3，
所以VP−BCH=13×12BC×BH×PH=13×12×2×3× 3= 3，PH= PA2−AH2= 3．
(2)根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB，PH所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示．
则A(−1,0,0)，P(0,0, 3)B(3,0,0)，C(3,2,0)．
设CM=λCPλ∈[0,1]，可得CM=λCP=λ(−3,−2, 3)=(−3λ,−2λ, 3λ)，
所以M(3−3λ,2−2λ, 3λ)，易知AB=(4,0,0)，MB=(3λ,2λ−2,− 3λ)．PB=(3,0,− 3),BC=(0,2,0)．
设平面AMB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
所以AB⋅m=4x1=0MB⋅m=3λx1+(2λ−2)y1− 3λz1=0，解得x1=0，取y1= 3λ，则z1=2λ−2，
即m=(0, 3λ,2λ−2)，设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
所以PB⋅n=3x2− 3z2=0BC⋅n=2y2=0，
解得y2=0，取x2=1，则z2= 3，即n=(1,0, 3)，因为平面AMB与平面PBC的夹角正切值为 393，
所以平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为 34，
因此可得|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=2 3|λ−1|2× 7λ2−8λ+4= 34,整理可得3λ2−8λ+4=0，
解得λ=2(舍去)或=23，因此当CM=23CP时，平面AMB与平面PBC的夹角的正切值为 393，
此时点M到平面ABC的距离为23PH=2 33．
18.解：(1)由题意，可得点(1,32)在椭圆C上，且椭圆的离心率e=12，
所以1a2+94b2=1e=ca=12a2=b2+c2，解得a2=4b2=3c2=1，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设点P(x1,y1)，因为点P在椭圆上，所以x124+y123=1，即y12=3−34x12，
同理，设点A(x2,y2)，则y22=3−34x22，且x1≠±x2，
又因为直线AB：y=kx过原点，所以A，B关于原点对称，所以点B(−x2,−y2)，
所以kPA⋅kPB=y1−y2x1−x2×y1+y2x1+x2=y12−y22x12−x22=−34(x12−x22)x12−x22=−34，可得k⋅kOP=−34，
联立y=kxx24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2=12，
解得x=2 3 3+4k2，y=2 3k 3+4k2或x=−2 3 3+4k2，y=−2 3k 3+4k2，
用−34k代替上述坐标中的k，可得P(−4k 4k2+3,3 4k2+3)或P(4k 4k2+3,−3 4k2+3)，其中k≠0．
(3)由(1)知，左焦点F1(−1,0)，
当直线MN斜率为零时，不妨设M(−2,0)，N(2,0)，
则F1M=(−1,0)，F1N=(3,0)，可得F1M⋅F1N=−3，|MN|=4，
则存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N成立；
当直线MN的斜率不为零时，设直线方程为x=my−1，
联立x=my−1x24+y23=1，消去x并整理得(3m2+4)y2−6my−9=0，Δ=(−6m)2+36(3m2+4)>0，
设M(x3,y3)，N(x4,y4)，所以y3+y4=6m3m2+4，y3y4=−93m2+4，
则|MN|= 1+m2|y3−y4|= 1+m2⋅ (y3+y4)2−4y3y4=12(m2+1)3m2+4，
F1M⋅F1N=(x3+1,y3)⋅(x4+1,y4)=x3x4+(x3+x4)+1+y3y4，
因为x3x4=m2y3y4−m(y3+y4)+1，x3+x4=m(y3+y4)−2，
所以F1M⋅F1N=(m2+1)y3y4=−9(m2+1)3m2+4，
所以|MN|=−43F1M⋅F1N，又因为|MN|=12(m2+1)3m2+4=4−43m2+4，
所以当m=0时，|MN|最小，最小值为3．
综上，存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N恒成立，此时|MN|的最小值为3．
19.解：(1)因为m(x)=x+a−1的图象向左平移一个单位长度得到ω(x)=x+a的图象，函数f(x)=ω(x)⋅ln(x+1)，
所以f(x)=(x+a)ln(x+1)，
所以f′(x)=ln(x+1)+x+ax+1，x>−1，
令g(x)=f′(x)，则g′(x)=1x+1+(x+1)−(x+a)(x+1)2=x+2−a(x+1)2，
若a≤1，则x+2−a>1−a≥0，从而g′(x)>0，所以g(x)即f′(x)在(−1,+∞)上单调递增．
若a>1，则当−11，则f′(x)在(−1,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增．
(2)若a=−3，f(x)=(x−3)ln(x+1)，
对(k,m)=(0,0)，即[kx1−f(x1)+m][kx2−f(x2)+m]=f(x1)⋅f(x2)，
而当x1∈(0,3)，x2∈(3,+∞)时，
f(x1)=(x1−3)ln(x1+1)0，
即f(x1)⋅f(x2)1时，G′(x)在(−1,a−2)上为负，在(a−2,+∞)上为正，
所以G(x)=F′(x)在(−1,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增；
若F′(a−2)1时，F(x)=(x+a)ln(x+1)−f′(x0)x的值域为R，无最大值或最小值，不符合题意．
当a≤1时，G′(x)>0，所以F′(x)=ln(x+1)+a−1x+1[1−f′(x0)]在(−1,+∞)上单调递增，
又F′(x0)=f′(x0)−f′(x0)=0，则F′(x)在(−1,x0)上为负，在(x0,+∞)上为正，
所以．F(x)=f(x)−f′(x0)在(−1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
则F(x0)是F(x)的最小值，满足F(x)=f(x)−f′(x0)x≥f(x0)−f′(x0)x0，
此时对任意x1，x2∈(−1,+∞)，都有[f′(x0)x1−f(x1)+f(x0)−x0f′(x0)][f′(x0)x2−f(x2)+f(x0)−x0f′(x0)]≥0，
所以a的取值范围是(−∞,1]．
得分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男性人数
10
15
65
75
115
50
20
女性人数
10
30
70
65
35
30
10
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
合计
男性
90
260
350
女性
110
140
250
合计
200
400
600
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681