陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试题范围：必修2+必修3至第七章 考试时间：120分钟
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量X的分布列：
满足，则a的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A. 2种B. 3种C. 6种D. 9种
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A. 31B. 30C. 29D. 28
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C D.
7. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（ ）
A. B. C. D.
8. ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ）
A. 当时，取最大值B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
11. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 单调递增B. 在单调递减
C. 在上有极大值D. 在上有极小值
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则__________.
13. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）
14. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中，各项的系数之和为729.
（1）求的值；
（2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.
16. 已知函数在处有极值2.
（1）求，的值：
（2）求函数在区间上的最大值.
17. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列前n项和.
18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
（1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
（2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列．
19 已知函数，．
（1）当时，证明：在上恒成立；
（2）若有2个零点，求a的取值范围．
陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期第2次月考数学试题
命题人：宋小伟 审题人：程亚娟 总分值：150分
试题范围：必修2+必修3至第七章 考试时间：120分钟
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选：A
2. 已知随机变量X的分布列：
满足，则a的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解.
【详解】由表可得，
又可得,解得，
故选：A
3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A. 2种B. 3种C. 6种D. 9种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步计数原理即可得到答案.
【详解】依题意，每个人选择方案都有3种，所以两个人不同的选择方案有种，
故选：D．
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】因为，，，
所以，
则，所以.
故选：A.
5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A. 31B. 30C. 29D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解.
【详解】令得，解得，
二项式的展开式的通项公式为且，
所以当时，；当时，，
所以二项式展开式中含的项为，
所以二项式展开式中系数为.
故选：C.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．
【详解】解：，定义域为，
，
令，得，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C，
当时，，，，所以，排除B，
只有D中图象符合题意；
故选：D
7. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算即可．
【详解】，，所以.
故选：D.
8. ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，由导数确定单调性比较的大小后可得结论．
【详解】设，则，
时，，单调递减，
，则，
所以，即，，
所以，即．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法即可逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选：AC
10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ）
A. 当时，取最大值B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式和等差数列的性质，分，讨论，判断各选项.
【详解】因为数列为等差数列，
由，所以.
所以，故B正确；
当时，由，所以，，所以，故C正确；
当时，由，所以，，所以，即，故D错误；
当时，时，取最小值；当时，时，取最大值.故A错误.
故选：BC
11. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 在单调递增B. 在单调递减
C. 在上有极大值D. 在上有极小值
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果.
【详解】由得，则，即，
设，由得，
由得，
即函数在单调递增，在单调递减，
即当时，函数取得极小值，
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的运算法则先求，再计算即可.
【详解】因为，所以，
得到，解得，
故答案为：.
13. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可.
【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，
所以．
故答案为：.
14. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数.
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知展开式中，各项的系数之和为729.
（1）求的值；
（2）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.
【答案】（1）6； （2）存，.
【解析】
【分析】（1）令即可求解；
（2）写出的展开式的通项，令的幂指数等于2即可求解.
【小问1详解】
的展开式中，各项的系数之和为729，
令，得，解得.
【小问2详解】
的展开式的通项为，
若存在含的项，则，
解得.
所以展开式中存在含的项，此项为.
16. 已知函数处有极值2.
（1）求，的值：
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解；
（2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解.
【小问1详解】
因为函数在处有极值，且，
所以，解得，
故.
【小问2详解】
由（1）得：，，
又，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增
故的最大值是或，
而，，
故函数的最大值是2.
17. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【小问1详解】
因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
【小问2详解】
由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
（1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
（2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列．
【答案】（1）3班进入决赛的可能性最大
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论；
（2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.
【小问1详解】
1班进入决赛的概率为，
2班进入决赛的概率为，
3班进入决赛的概率为，
因为，
所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大.
【小问2详解】
由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，，
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
19. 已知函数，．
（1）当时，证明：在上恒成立；
（2）若有2个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）只需证明在上恒成立，利用导函数与单调性、最值的关系证明即可；
（2）将问题转化为方程有两个不等的实数根，利用导数与单调性、最值的关系，作出的图象，数形结合求解即可.
【小问1详解】
证明：当时，设，
则．
由函数和均在上单调递增，
知在上单调递增，且，
所以当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增,
所以，
即在上恒成立．
【小问2详解】
由，得．
令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点．
令，得，
当时，；
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，
当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0．
作出函数的大致图象，如图所示．
结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点，
即有2个零点，故a的取值范围是．
x
0
1
P
x
0
1
P
0
1
2
3
P