江苏省2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

这是一份江苏省2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 在中，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
4. 如图所示的中，，斜边，该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
5. 已知＝（1，－2），则与反方向的单位向量是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．或
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
8. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量，的夹角为 D．在方向上的投影是
10. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2025/04/01|873次组卷|5卷引用：山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
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11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
三、填空题
12. 圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为________．
13. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为______．
14. 、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是___________．
四、解答题
15. 已知复数
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
17. 如图，甲船A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.
(1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船；
(2)设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值.
18. 如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_______，.
(1)若，求.
(2)求周长的最大值.
一、单选题
答案：D。已知a=(x,1−x)，b=(−1,2)，因为a⊥b，根据向量垂直性质a⋅b=0，即−x+2(1−x)=0，−x+2−2x=0，−3x=−2，解得x=23。
答案：A。复数z=2，在复平面内对应的点为(2,0)，在第一象限。
答案：B。在△ABC中，B=180∘−A−C=180∘−120∘−15∘=45∘，由正弦定理BCsin⁡A=ACsin⁡B，AC=6，sin⁡A=sin⁡120∘=32，sin⁡B=sin⁡45∘=22，则BC=ACsin⁡Asin⁡B=6×3222=3。
答案：D。直观图中O′A=AB，斜边O′B=2，则O′A=AB=1。原平面图形中OA=2O′A=2，AB=1，且∠OAB=90∘，所以面积S=12×2×1×2=2。
答案：A。与a=(1,−2)反方向的单位向量是−a|a|，|a|=12+(−2)2=5，则单位向量为−(1,−2)5=(−55,255)。
答案：D。若正三棱柱底面周长为6，高为4，则底面边长为2，底面积S=34×22=3，体积V=S×ℎ=3×4=43；若底面周长为4，高为6，则底面边长为43，底面积S=34×(43)2=439，体积V=S×ℎ=439×6=833。
答案：A。由正弦定理asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R（R为外接圆半径），a=2Rsin⁡A，b=2Rsin⁡B，代入acs⁡B+bcs⁡A=a得2Rsin⁡Acs⁡B+2Rsin⁡Bcs⁡A=2Rsin⁡A，即sin⁡Acs⁡B+sin⁡Bcs⁡A=sin⁡A，sin⁡(A+B)=sin⁡A，因为A+B+C=π，所以sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C，即sin⁡C=sin⁡A，A=C，△ABC是等腰三角形。
答案：B。以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，D(0,3)，设P(x,0)(0≤x≤3)，CP=(x−0,0−3)=(x,−3)，DP=(x−0,0−3)=(x,−3)，CP⋅DP=x2−3，当x=3时，CP⋅DP取得最大值32−3=3 。
二、多选题
答案：AC。a=(1,3)，b=(2,−4)，a+b=(3,−1)，(a+b)⋅a=3×1+(−1)×3=0，所以(a+b)⊥a，A正确；2a+b=(2×1+2,2×3−4)=(4,2)，|2a+b|=42+22=20=25≠10，B错误；a⋅b=1×2+3×(−4)=−10，|a|=12+32=10，|b|=22+(−4)2=20=25，设夹角为θ，cs⁡θ=a⋅b|a||b|=−1010×25=−22，因为0≤θ≤π，所以θ=3π4，C正确；b在a方向上的投影是a⋅b|a|=−1010=−10≠−5，D错误。
答案：BC。A选项，若z1=1，z2=−1，z1+z2=0，但z1≠0，z2≠0，A错误；B选项，若z1=iz2，则|z1|=|iz2|=|i||z2|=|z2|，B正确；C选项，若z1=z2，则z1z2=|z1|2，C正确；D选项，若|z1|=|z2|，取z1=1，z2=i，z12=1，z22=−1，z12≠z22，D错误。
答案：ACD。设a+b=9k，a+c=10k，b+c=11k(k>0)，解得a=4k，b=5k，c=6k，由正弦定理sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=a:b:c=4:5:6，A正确；c最大，cs⁡C=a2+b2−c22ab=16k2+25k2−36k22×4k×5k=18>0，△ABC是锐角三角形，B错误；cs⁡A=b2+c2−a2−c22bc=25k2+36k2−16k2−36k22×5k×6k=34，cs⁡C=18，cs⁡2A=2cs2⁡A−1=2×(34)2−1=18=cs⁡C，因为0