江苏省南京市2023_2024学年高一数学下学期4月联考试题

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这是一份江苏省南京市2023_2024学年高一数学下学期4月联考试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（）
A．B．C．D．
2．已知向量若与垂直，则（）
A．13B．C．11D．
3.在中，若则（）
A.B. C. D.
4.在中，角的对边分别为，
则（）
A．1B．2C．D．
5．已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，，则（）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）
A．B．C．1D．5
7.在平行四边形中，则
（）
A.12 B.16 C.14 D.10
8.已知，且则的值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 计算下列各式，结果为的是（）
B.
C. D.
10.对于有如下命题，其中正确的是（）
若，则为钝角三角形.
若，则的面积为
在锐角中，不等式恒成立.
若且有两解，则的取值范围是
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足sinA:sinB:sinC＝，且
，则（）
的外接圆的半径为 B.的内切圆的半径为
C.若为的中点，则 D.若为的外心，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为海里．
13.已知则.
14.已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中则的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知，，的夹角是60°.
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
16．（本小题满分15分）已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
17．（本小题满分15分）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，为的中点，求．
18.（本小题满分17分）已知函数xR．
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最小值并指出此时的取值；
(3)若，求的值．
19．（本小题满分17分）如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路,围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；
（2）若的面积，求木栈道长；
（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，
①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道的最小值．
2023-2024学年第二学期第一次调研测试
高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2. A 3.B 4. B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 10.ACD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.7 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分13分）
解：（1）由题可得，2分
4分
所以6分
（2），8分
设和的夹角为
所以13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）由，可得，2分
5分
（2）由，7分
9分
13分
15分
（计算正弦或正切的，同以上评分标准）
17.（本小题满分15分）
解：因为，
由正弦定理得，，2分
在，，则有
，4分
，又，，
6分
8分
（注：没有交代,扣1分）
（2）法1：根据余弦定理，有，
则有，解得或（舍去），10分
为的中点，则，12分
，14分
．15分
法2：根据余弦定理，有，
则有，解得或（舍去），10分
为的中点，，12分
可得：14分
15分
法3：根据余弦定理，有，
则有，解得或（舍去），10分
12分
14分
15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）
，

2 分
4分
，的最小正周期为 5分
（2）因为，所以， 7分
，9分
10分
(3)因为，所以
又因为，所以
故，12分
，
可得14分
17分
19.（本小题满分17分）
解：（1）当是等边三角形时，，，
则2分
面积为；4分
（2）法1：在中，因为，
则解得5分
所以，
所以，
则
由余弦定理可得，，
即，则，
则，6分
则解得8分
法2：设圆C与AB、 OB、OA分别相切与点M，N，F
所以OF=ON,AF=AM,BM=BN,其中，OF=ON=6,
6分
8分
（3）设圆与，分别切于，，
则，，，
则，，则，，
由，可得，由，
可得，则，12分
①13分
②
当且仅当时等号成立，则的最小值12．17分